Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2014

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

La courbe 𝒞 ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -55.
On note f la fonction dérivée de f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Sur l'intervalle -55 :

     a.   f est une fonction de densité de probabilité

     b.   f est positive

     c.   f n'est pas continue

     d.   l'équation fx=0 admet deux solutions

  2. Sur l'intervalle -55, on a :

     a.   f1=0

     b.  f0=1

     c.   f0=0

     d.   f1=1

  3. On admet qu'une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 4 est y=-xe2+5e2. Le nombre dérivé de f en 4 est :

     a.  f4=5e2

     b.  f4=1e2

     c.  f4=-1e2

     d.  f4=e-2

  4. On pose A=-22fxdx. Un encadrement de A est :

     a.  0<A<1

     b.  1<A<2

     c.  3<A<4

     d.  4<A<5


EXERCICE 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif est de le louer. Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10-4.

partie a

On considère deux types d'appartement :

Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur ont montré que :

On choisit un dossier au hasard et on considère les évènements suivants :

  1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

  2. Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.

  3. Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.

partie b

On considère X la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler X à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ=35 et d'écart type σ=5.

À l'aide de la calculatrice :

  1. Calculer P25X35

  2. Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.

partie c

L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60% des appartements sont rentables. Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

  1. Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.

  2. Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.
On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a Modèle exponentiel

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction f qui modélise la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément et fx la durée de chargement exprimée en seconde.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8 000 personnes connectées.

    1. Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par f.

    2. Donner une interprétation de ce résultat.

partie b Modèle logarithmique

On considère une autre fonction g pour modéliser la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors gx avec gx=10x-8lnx pour x appartenant à 0,5+.

    1. Calculer gx

    2. Dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle 0,5+.

    1. Justifier que la fonction G définie sur 0,5+ par Gx=5x2+8x-8xlnx est une primitive de g sur 0,5+.

    2. On pose I=1224gxdx
      Montrer que la valeur exacte de I peut s'écrire sous la forme a+bln2a et b sont deux réels que l'on déterminera.

    3. Déterminer une valeur approchée à 10-2 près de I puis donner une interprétation de ce résultat.

partie c

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément 8 000 personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.
Déerminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée uun désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013 + n).

En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

    1. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.

    2. Montrer que la suite u est définie par u0=50 000 et pour tout entier naturel n par la relation un+1=0,95un+3 000

  1. On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par vn=60 000-un.

    1. Montrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
      Déterminer son premier terme.

    2. Exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=10 0006-0,95n.

    4. Déterminer la limite de la suite u.

    5. Interpréter le résultat précédent.

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un57 000

    2. Interpréter ce résultat.

    1. On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

      Algorithme 1Algorithme 2Algorithme 3

      variables :

      A, U, N sont des nombres

      Début de l'algorithme

      Saisir la valeur de A
      N prend la valeur 0
      U prend la valeur 50 000

      Tant que U<A faire
      N prend la valeur N+1
      U prend la valeur 0,95U+3000
      Fin Tant que

      Afficher N

      Fin de l'algorithme

      variables :

      U, I, N sont des nombres

      Début de l'algorithme

      Saisir la valeur de N
      U prend la valeur 50 000

      Pour I variant de 1 à N
      U prend la valeur 0,95U+3000
      Fin Pour

      Afficher U

      Fin de l'algorithme

      variables :

      U, I, N sont des nombres

      Début de l'algorithme

      Saisir la valeur de N
      U prend la valeur 50 000

      Pour I variant de 1 à N
      Afficher U
      U prend la valeur 0,95U+3000
      Fin Pour

      Afficher U

      Fin de l'algorithme

    2. Lorsque A=57 000 l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Lors d'une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier.
Le graphe 𝒢 ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d'autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d'autoroute par une arête) :

Graphe G : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Déterminer, en justifiant, si le graphe 𝒢 est :

    1. complet ;

    2. connexe.

    1. Justifier qu'il est possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute.

    2. Citer un trajet de ce type.

  2. On appelle M la matrice d'adjacence associée au graphe 𝒢 (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique).

    1. Déterminer la matrice M.

    2. On donne la matrice M3=05351141527283353764939105240923818994410413324266439310669 151084694 Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H.
      Préciser ces chemins.

partie b

Des contraintes d'organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A.
Le graphe 𝒢 est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d'autoroute.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F.
Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.



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