sujet : Antilles Guyane septembre 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

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1. Soit la fonction f définie sur $\left[1;100\right]$ par $f\left(x\right)=200\ln x+10x$, $f\prime \left(x\right)$ désigne la fonction dérivée de f. On a :

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $\left[1;100\right]$ par :$$f\prime \left(x\right)=200\times {\displaystyle \frac{1}{x}}+10={\displaystyle \frac{200}{x}}+10$$

   a.   $f\prime \left(x\right)=200+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b.   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{200}{x}}+10$

   c.   $f\prime \left(x\right)=200+10x$

   d.   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{200}{x}}+10x$

2. On note L une primitive sur $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction ln. Cette fonction L est :

   L est une primitive sur $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction ln alors, pour tout réel x strictement positif, on a $L\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)$.

   Les variations de la fonction L se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction L :

   x	0				1		$+\infty$
   $L\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $L\left(x\right)$

   a.   croissante puis décroissante

   b.   décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$

   c.   croissante sur $\left]0;+\infty \right[$

   d.   décroissante puis croissante

3. La fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x-\ln x$ est :

   Pour tout réel x strictement positif, $$g\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$$

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la dérivée $g\prime$ de la fonction g est strictement croissante donc la fonction g est convexe.

   a.   convexe sur $\left]0;+\infty \right[$

   b.   concave sur $\left]0;+\infty \right[$

   c.   ni convexe ni concave sur $\left]0;+\infty \right[$

   d.   change de convexité sur $\left]0;+\infty \right[$

4. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction h définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :

   Le nombre dérivé $h\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse 2 d'où $h\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   a.   $h\prime \left(2\right)=2$

   b.   $h\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   c.   $h\prime \left(2\right)=0$

   d.   $h\prime \left(2\right)=1$

5. La variable aléatoire X suit une loi normale d'espérance $\mu =0$ et d'écart-type σ inconnu mais on sait que $P\left(-10<X<10\right)=\mathrm{0,8}$. On peut en déduire :

   La courbe représentative de la loi normale d'espérance $\mu =0$ et d'écart-type σ est symétrique par raport à l'axe des ordonnées.

   On a $P\left(X<10\right)=P\left(-10<X<10\right)+P\left(X⩽-10\right)$ ou encore $P\left(X<10\right)=1-P\left(X⩾10\right)$

   Or $P\left(X⩽-10\right)=P\left(X⩾10\right)={\displaystyle \frac{1-P\left(-10<X<10\right)}{2}}$. Soit $P\left(X⩽-10\right)=P\left(X⩾10\right)={\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,8}}{2}}=\mathrm{0,1}$

   On a donc $P\left(X<10\right)=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$ ou encore $P\left(X<10\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$

   a.   $P\left(X<10\right)=\mathrm{0,1}$

   b.   $P\left(X<10\right)=\mathrm{0,2}$

   c.  $P\left(X<10\right)=\mathrm{0,5}$

   d.   $P\left(X<10\right)=\mathrm{0,9}$

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