sujet : Antilles Guyane septembre 2015

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction f, définie sur l'intervalle $\left[0;70\right]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1^er juillet, $f\left(x\right)$ désigne la population en milliers d'habitants.
Ainsi $x=30$ correspond au 31 juillet et $f\left(30\right)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet.
On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d'eau par jour.

partie a

Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique

1. 1. Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint.

      Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=40$

      Selon ce modèle, le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire est de 10 0000 à la date du 10 août.

      ---

   2. La commune est en capacité de fournir 600 000 litres d'eau par jour, est-ce suffisant ?

      $$10000\times 55=550000$$

      Selon ce modèle, la capacité en eau de la commune est suffisante.

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2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu.

   Avec la précision permise par le graphique, $f\left(x\right)⩾8000$ sur l'intervalle $\left[17;70\right]$.

   Le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu pendant 53 jours.

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partie b

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;70\right]$ par $f\left(x\right)=2+\mathrm{0,2}x{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}$.

1. Calculer $f\left(9\right)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de 324 890 litres.

   $$\begin{array}{ll}& f\left(9\right)=2+\mathrm{0,2}\times 9\times {\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}\times 9+1\right)}=2+\mathrm{1,8}\times {\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,775}\right)}\approx \mathrm{5,907}\\ \text{et}& 55\times 1000\times f\left(9\right)=110000+99000\times {\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,775}\right)}\approx 324889\end{array}$$

   Ainsi, la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de 324 890 litres.

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2. 1. Démontrer que $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,005}x\right){\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de f.

      La fonction f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables :
      $f=2+uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;70\right]$, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=\mathrm{0,2}x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=\mathrm{0,2}\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,025}{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}\end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;70\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}+\mathrm{0,2}x\times \left(-\mathrm{0,025}{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}\right)\\ & =& \mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}-\mathrm{0,005}x{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}\\ & =& \left(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,005}x\right){\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;70\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,005}x\right){\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;70\right]$.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,005}x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;70\right]$.$$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,2}-\mathrm{0,005}x⩾0& \iff & x⩽40\end{array}$$

      x	0		40		70
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   3. En déduire la date de la consommation d'eau maximale.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      x	0		40		70
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			10

      ---

      La consommation d'eau maximale devrait se produire 40 jours après le 1^er juillet ce qui correspond au 10 août.

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partie c

1. En l'illustrant sur la courbe $C_g$ de l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme S.

   $$\begin{array}{rcl}S\times 1& =& \left[g\left(10\right)+g\left(11\right)+g\left(12\right)+\dots +g\left(20\right)\right]\times 1\\ & =& g\left(10\right)\times 1+g\left(11\right)\times 1+g\left(12\right)\times 1+\dots +g\left(20\right)\times 1\end{array}$$

   Ainsi, comme on peut le constater sur la figure ci-dessous, S est la somme des aires de 11 rectangles d'égale largeur et de hauteurs $g\left(n\right)$ pour n entier variant de 10 à 20.

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2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10^e au 20^e jour.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}>0$ donc sur l'intervalle $\left[0;70\right]$ on a $110+11x{\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}x+1\right)}>110$.

   La fonction g étant positive sur l'intervalle $\left[0;70\right]$ la somme S est approchée par l'aire du domaine compris entre la courbe $C_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=10$ et $x=21$. Soit par l'intégrale de la fonction g entre 10 et 21.$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{10}^{21}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& G\left(21\right)-G\left(10\right)\\ & =& \left(110\times 21-\left(440\times 21+17600\right)\times {\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}\times 21+1\right)}\right)-\left(110\times 10-\left(440\times 10+17600\right)\times {\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}\times 10+1\right)}\right)\\ & =& \left(2310-26840\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,475}}\right)-\left(1100-22000\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,75}}\right)\\ & =& 1210-26840\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,475}}+22000\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,75}}\approx \mathrm{4624,9}\end{array}$$

   La quantité d'eau consommée du 10^e au 20^e jour est d'environ 4625 m³.

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   remarque

   L'algorithme suivant permet de calculer la valeur de la somme S :

   Initialisation Affecter à S la valeur 0

   Traitement Pour i allant de 10 à 20 Affecter à g la valeur $110+11\times i\times {\mathrm{e}}^{\left(-\mathrm{0,025}\times i+1\right)}$ Affecter à S la valeur S + g Fin Pour

   Sortie Afficher S

   La valeur affichée en sortie est d'environ 4555 m³.

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