sujet : Liban 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

1. 1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

      • La machine $M_A$ fournit 40 % de la production totale et $M_B$ le reste d'où $P\left(A\right)=\mathrm{0,4}$ et $P\left(B\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$
      • La machine $M_A$ produit 2 % de médailles défectueuses d'où $P_A\left(D\right)=\mathrm{0,02}$
      • La machine $M_B$ produit 3 % de médailles défectueuses d'où $P_B\left(D\right)=\mathrm{0,03}$

      Arbre de probabilité modélisant la situation :

   2. Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à 0,026.

      D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(D\right)=P\left(A\cap D\right)+P\left(B\cap D\right)$$

      Avec :$$\begin{array}{lrcl}& P\left(A\cap D\right)=P_A\left(D\right)\times P\left(A\right)& \text{Soit}& P\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,008}\\ \text{et}& P\left(B\cap D\right)=P_B\left(D\right)\times P\left(B\right)& \text{Soit}& P\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,018}\end{array}$$

      D'où $$P\left(D\right)=\mathrm{0,008}+\mathrm{0,018}=\mathrm{0,026}$$

      La probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à 0,026.

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   3. Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine $M_A$ sachant qu'elle est défectueuse.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap D\right)}{P\left(D\right)}}& \text{Soit}& P_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,008}}{\mathrm{0,026}}}\approx \mathrm{0,308}\end{array}$$

      La probabilité qu'une pièce défectueuse ait été produite par la machine $M_A$ est 0,308.

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2. Les médailles produites sont livrées par lots de 20. On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.
   On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.
   On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

   1. Préciser la loi que suit X et donner ses paramètres.

      Pour chaque médaille prélevée, il n'y a que deux issues possibles : la médaille est defectueuse ou pas. On assimile le prélèvement de 20 médailles à un tirage aléatoire avec remise donc :

      X suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\mathrm{0,026}$.

      ---

   2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot.

      $$P\left(X⩽1\right)\approx \mathrm{0,906}$$

      La probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot est 0,906.

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partie b

1. Indiquer par lecture graphique la valeur de μ.

   Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une loi normale d'espérance μ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$

   Par lecture graphique, $\mu =75$.

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2. Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité $P\left(\mathrm{74,4}⩽Y⩽\mathrm{75,6}\right)$.

   $P\left(\mathrm{74,4}⩽Y⩽\mathrm{75,6}\right)\approx \mathrm{0,984}$

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3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de h pour que $P\left(75-h⩽Y⩽75+h\right)\approx \mathrm{0,95}$

   D'après le cours, si une variale aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors $P\left(\mu -\mathrm{1,96}\sigma ⩽X⩽\mu +\mathrm{1,96}\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$

   Comme la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 75 et d'écart-type 0,25 alors $P\left(75-\mathrm{1,96}\times \mathrm{0,25}⩽Y⩽75+\mathrm{1,96}\times \mathrm{0,25}\right)\approx \mathrm{0,95}$. D'où $h=\mathrm{1,96}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,49}$

   La valeur de h pour que $P\left(75-h⩽Y⩽75+h\right)\approx \mathrm{0,95}$ est $h=\mathrm{0,49}$.

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partie c

Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine $M_B$, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est de 3 %.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine $M_B$, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

1. Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.

   La fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme dans l'échantillon prélevé est $f={\displaystyle \frac{11}{180}}\approx \mathrm{0,061}$

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2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_B$.

   Comme $n=180$, $n\times p=180\times \mathrm{0,03}=\mathrm{5,4}$ et $n\times \left(1-p\right)=180\times \mathrm{0,97}=\mathrm{174,6}$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,03}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,97}}{180}}};\mathrm{0,03}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,97}}{180}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme sur un échantillon de taille 180 est $I=\left[\mathrm{0,005};\mathrm{0,055}\right]$.

   La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, il est recommandé de procéder au réglage de la machine $M_B$.

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