sujet : Liban 2015

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Justifier que le volume d'eau $V_1$ au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m³.

      $$V_1=\mathrm{0,96}\times \mathrm{100\; 000}-500=\mathrm{95\; 500}$$

      Au matin du 2 juillet 2013 le volume d'eau est égal à 95 500 m³.

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   2. Déterminer le volume d'eau $V_2$, au matin du 3 juillet 2013.

      $$V_2=\mathrm{0,96}\times \mathrm{95\; 500}-500=\mathrm{91\; 180}$$

      Au matin du 3 juillet 2013 le volume d'eau est égal à 91 180 m³.

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   3. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a $V_{n+1}=\mathrm{0,96}{V}_n-500$.

      Pour tout entier naturel n on a $$V_{n+1}=V_n-{\displaystyle \frac{4}{100}}\times V_n-500=V_n\times \left(1-{\displaystyle \frac{4}{100}}\right)-500=\mathrm{0,96}{V}_n-500$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $V_{n+1}=\mathrm{0,96}{V}_n-500$.

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2. Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous.
   Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

   L1	Variables :	V est un nombre réel
   L2		N est un entier naturel
   L3	Traitement :	Affecter à V la valeur 100 0000
   L4		Affecter à N la valeur 0
   L5		Tant que $V>0$
   L6		Affecter à N la valeur $N+1$
   L7		Affecter à V la valeur $\mathrm{0,96}\times V-500$
   L8		Fin Tant que
   L9	Sortie :	Afficher N

3. On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $U_n=V_n+\mathrm{12\; 500}$.

   1. Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme.

      $$\begin{array}{ccc}{U}_0=V_0+\mathrm{12\; 500}& \text{soit}& U_0=\mathrm{100\; 000}+\mathrm{12\; 500}=\mathrm{112\; 500}\end{array}$$

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{U}_{n+1}& =& V_{n+1}+\mathrm{12\; 500}\\ & =& \mathrm{0,96}{V}_n-500+\mathrm{12\; 500}\\ & =& \mathrm{0,96}{V}_n+\mathrm{12\; 000}\\ & =& \mathrm{0,96}\times \left(V_n+\mathrm{12\; 500}\right)\\ & =& \mathrm{0,96}{U}_n\end{array}$$

      Pour tout entier n, $U_{n+1}=\mathrm{0,96}{U}_n$ donc $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96. En outre, $U_0=\mathrm{112\; 500}$

      ---

   2. Exprimer $U_n$ en fonction de n.

      $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $U_0=\mathrm{112\; 500}$ donc :

      Pour tout entier naturel n, $U_n=\mathrm{112\; 500}\times {\mathrm{0,96}}^n$.

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $V_n=\mathrm{112\; 500}\times {\mathrm{0,96}}^n-\mathrm{12\; 500}$.

      Pour tout entier naturel n, $$U_n=V_n+\mathrm{12\; 500}\iff V_n=U_n-\mathrm{12\; 500}$$

      Par conséquent, pour tout entier naturel n, $V_n=\mathrm{112\; 500}\times {\mathrm{0,96}}^n-\mathrm{12\; 500}$.

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4. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\mathrm{112\; 500}\times {\mathrm{0,96}}^n-\mathrm{12\; 500}⩽0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{rcll}\mathrm{112\; 500}\times {\mathrm{0,96}}^n-\mathrm{12\; 500}⩽0& \iff & {\mathrm{0,96}}^n⩽{\displaystyle \frac{12500}{112500}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,96}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,96}⩽-\ln 9& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾-{\displaystyle \frac{\ln 9}{\ln \mathrm{0,96}}}& \ln \mathrm{0,96}<0\end{array}$$

      Comme $-{\displaystyle \frac{\ln 9}{\ln \mathrm{0,96}}}\approx \mathrm{53,8}$ alors :

      Les solutions entières de l'inéquation $\mathrm{112\; 500}\times {\mathrm{0,96}}^n-\mathrm{12\; 500}⩽0$ sont les entiers naturels $n⩾54$.

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   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

      Au matin du 54^e jour qui suit le 1^er juillet 2013 la retenue d'eau est vide.

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