Baccalauréat septembre 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie session septembre 2015

corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

partie a

L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir.
Initialement, 40 % des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL.
Suite à l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.
L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

3 % des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant.
0,2 % des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.

On note Z l'état : « l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois » et $\bar{Z}$ l'état : « l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois ».

Pour tout entier naturel n, on note :

$a_{n}$ la proportion d'automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du n-ième mois ;
$b_{n}$ la proportion d'automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du n-ième mois ;
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste après n mois.

On a : $a_{n} + b_{n} = 1$ et $P_{0} = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ .

Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets Z et $\bar{Z}$ .
- 3 % des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant d'où $p_{Z} (\bar{Z}) = 0,03$ et $p_{Z} (Z) = 1 - 0,03 = 0,97$ .
- 0,2 % des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant d'où $p_{\bar{Z}} (Z) = 0,002$ et $p_{\bar{Z}} (\bar{Z}) = 1 - 0,002 = 0,998$ .
Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :
1. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe (la première colonne concerne Z et la deuxième concerne $\bar{Z}$ ).
  La matrice de transition associée au graphe est $M = (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998 \end{matrix})$ .
2. Vérifier que $P_{1} = (\begin{matrix} 0,3892 & 0,6108 \end{matrix})$ .
  L'état probabiliste $P_{1}$ est $\begin{matrix} P_{1} = P_{0} \times M & Soit & P_{1} = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,3892 & 0,6108 \end{matrix}) \end{matrix}$
  Ainsi, $P_{1} = (\begin{matrix} 0,3892 & 0,6108 \end{matrix})$ .
L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?
L'état probabiliste $P_{2}$ est $\begin{matrix} P_{2} = P_{1} \times M & Soit & P_{2} = (\begin{matrix} 0,3892 & 0,6108 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,378746 & 0,621254 \end{matrix}) \end{matrix}$
Selon ce modèle, dans deux ans, environ 37,9 % des automobiles circulant dans la ville, circuleront dans la zone ZTL. L'objectif affiché par la municipalité de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir, ne sera pas atteint.

partie b

Un réseau de navettes gratuites est mis en place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.
Le graphe ci-dessous indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.

Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites ?
Les trajets P-C-B-E-A-D-F-G ou P-B-C-E-A-D-F-G ou P-A-E-C-B-D-F-G conviennent.
Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
Il y a six sommets de degré impair ( A, C, D, E, G et P ) par conséquent, il n'existe pas de chaîne eulérienne. Donc il n'est pas possible d'envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies.

Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G.

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le plus court parcours pour se rendre de P à G

P	A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	P (0)
	9 (P)	8 (P)	4 (P)	∞	∞	∞	∞	C (4)
	9 (P)	7 (C)		∞	13 (C)	∞	∞	B (7)
	9 (P)			13 (B)	12 (B)	∞	∞	A (9)
				13 (B)	12 (B)	∞	∞	E (12)
				13 (B)		∞	22 (E)	D (13)
						18 (D)	21 (D)	F (18)
							21 (D)	G (21)

Le sommet D étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de D et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G \leftarrow D \leftarrow B \leftarrow C \leftarrow P$ .

Le trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G est P - C - B - D - G. La durée de ce trajet est de 21 minutes.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.