Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.

À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :

  • 60 % des clients sont des hommes ;
  • 80 % des hommes mangent un dessert alors que seulement 45 % des femmes en mangent un.

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :

  • H l'événement « le client interrogé est un homme » ;
  • D l'événement « le client interrogé a mangé un dessert ».

On note également :

  • A¯ l'événement contraire d'un événement A ;
  • p(A) la probabilité d'un événement A.

partie a

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

    Traduisons les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre :

    • 60 % des clients sont des hommes d'où p(H)=0,6 et p(H¯)=1-0,6=0,4

    • 80 % des hommes mangent un dessert d'où pH(D)=0,8 et pH(D¯)=1-0,8=0,2.

    • 45 % des femmes mangent un dessert d'où pH(D)=0,45 et pH(D¯)=1-0,45=0,55.

    D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.

    p(HD)=pH(D)×p(H)Soitp(HD)=0,8×0,6=0,48

    La probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert est égale à 0,48.


  3. Montrer que p(D)=0,66.

    Les évènements H et D sont relatifs à la même épreuve. D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(D)=p(DH)+p(DH¯)

    Or p(DH¯)=pH(D)×p(H¯)Soitp(DH¯)=0,45×0,4=0,18

    D'où, p(D)=p(DH)+p(DH¯)=0,48+0,18=0,66

    La probabilité que le client interrogé ait mangé un dessert est égale à 0,66.


  4. Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

    Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement H¯ sachant que l'évènement D est réalisé. pD(H¯)=p(DH¯)p(D)SoitpD(H¯)=0,180,66=311

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne ayant pris un dessert soit une femme est 0,273.


partie b

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants.
Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés.

  1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clients satisfaits.

    La fréquence des clients satisfaits des menus dans l'échantillon de 300 clients est f=204300=0,68

    Un intervalle de confiance de la proportion p des clients satisfaits des menus est : [0,68-1300;0,68+1300]=[0,622;0,738]

    L'intervalle [0,622;0,738] est un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des clients satisfaits des menus.


  2. Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95 % d'amplitude 0,06.
    Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle.

    Soit p la proportion inconnue de clients satisfaits. Une estimation de cette proportion p peut être obtenue à l'aide de l'intervalle de confiance au niveau 0,95 qui est défini par : [f-1n;f+1n]f est la fréquence observée de clients satisfaits dans un échantillon de taille n.

    L'amplitude de cet intervalle est : (f+1n)-(f-1n)=2n

    La taille n minimale de l'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit inférieure ou égale à 0,06 est le plus petit entier n solution de l'inéquation 2n0,061n0,03n1003n1000091111,11

    Pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de 95 % d'amplitude 0,06 il faut interroger 1112 clients.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.