Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2016

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.

À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :

On note également :

partie a

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

  2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.

  3. Montrer que pD=0,66.

  4. Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

partie b

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants.
Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés.

  1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clients satisfaits.

  2. Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95 % d'amplitude 0,06.
    Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle.


exercice 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point.
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Les parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

  1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 90 et d'écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de pX100 est :

    a. 0,500

    b. 0,452

    c. 0,048

    d. 0,952

  2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de pμ-20Yμ+20 est :

    a. 0,68

    b. 0,5

    c. 0,8

    d. 0,95

partie b

Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction f deux fois dérivable sur -53. On donne ci-dessous le tableau de variation de f.

x-5-113
variations de f

-0,5

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

-3

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

4

  1. La fonction f est :

    a. croissante sur -53

    b. décroissante sur -51

    c.décroissante sur -53

    d. croissante sur -13

  2. La fonction f est :

    a. convexe sur -5-1

    b. concave sur -5-1

    c. concave sur -51

    d. convexe sur -53


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés.
On modélise le nombre d'arbres de cette forêt par une suite un où, pour tout entier naturel n, un est le nombre d'arbres au 31 décembre de l'année 2015+n.
Ainsi u0=1500.

partie a

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,95×un+50.

  3. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n, par vn=un-1000.

    1. Montrer que la suite vn est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

    2. Montrer que pour tout entier naturel n, un=1000+500×0,95n.

    3. En déduire le nombre d'arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030.

partie b

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d'un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.
Au bout de combien d'années le prix d'un stère de bois aura-t-il doublé ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.

  2. On note M la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).
    On donne la matrice M4=2018202111135518322525171610102025311913131452125193113214121117131311643131613216203135101444391510512313110.
    Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Les citer tous.

partie a

Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9h à 16h. On obtient le relevé suivant :

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Ainsi, à 10h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie.
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui à l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente.
On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction f définie par fx=ax2+bx+c avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points 99, 1120 et 162 appartiennent à la représentation graphique de f.

  1. Calculer les trois réels a, b et c.

  2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On définit une fonction g sur l'intervalle 0,55 par gx=5x-3xlnx.

  1. Montrer que pour x appartenant à 0,55, gx=2-3lnx.

  2. Étudier le signe de gx et en déduire le sens de variation de g sur 0,55.

  3. En déduire pour quelle valeur x0, arrondie au centième, la fonction g atteint un maximum.

  4. Montrer que l'équation gx=4 admet deux solutions sur 0,55 que l'on note α1 et α2. En donner un encadrement d'amplitude 0,01.

  5. Résoudre gx4.

  6. Montrer que la fonction G définie sur 0,55 par Gx=-32x2lnx+134x2 est une primitive de g sur 0,55.

  7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle 0,55. On donnera la valeur arrondie au millième.



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