sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2016

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

partie a

1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.

   • La chaîne A - E - D - C - H - G - F - B contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

   • Le graphe étant connexe, déterminons le degré de chacun des sommets :

     Sommets	A	B	C	D	E	F	G	H
     Degré	3	4	4	4	2	3	2	2

   Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets A et F de degré impair, il existe donc une chaîne eulérienne d'extrémités A et F.

   Un enfant pourra parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule. Par exemple le parcours A - D - E - A - B - D - C - B - F - C - H - G - F.

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2. On note M la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique). On donne la matrice $M^4=\left(\begin{array}{cccccccc}20& 18& 20& 21& 11& 13& 5& 5\\ 18& 32& 25& 25& 17& 16& 10& 10\\ 20& 25& 31& 19& 13& 13& 14& 5\\ 21& 25& 19& 31& 13& 21& 4& 12\\ 11& 17& 13& 13& 11& 6& 4& 3\\ 13& 16& 13& 21& 6& 20& 3& 13\\ 5& 10& 14& 4& 4& 3& 9& 1\\ 5& 10& 5& 12& 3& 13& 1& 10\end{array}\right)$.
   Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Les citer tous.

   Le terme $a_{5,8}$ situé à l'intersection de la cinquième ligne et de la huitième colonne de la matrice $M^4$ est égal à 3.

   Il y a trois parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres : $\left\{E-A-B-C-H\right\}$ ; $\left\{E-A-D-C-H\right\}$ et $\left\{E-D-B-C-H\right\}$.

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partie a

1. Calculer les trois réels a, b et c.

   • Le point de coordonnées $\left(9;9\right)$ appartient à la représentation graphique de f d'où $f\left(9\right)=9$. Soit $81a+9b+c=9$

   • Le point de coordonnées $\left(11;20\right)$ appartient à la représentation graphique de f d'où $f\left(11\right)=20$. Soit $121a+11b+c=20$

   • Le point de coordonnées $\left(16;2\right)$ appartient à la représentation graphique de f d'où $f\left(16\right)=2$. Soit $256a+16b+c=2$

   Ainsi, a, b et c sont solutions du système S :$\{\begin{array}{rrr}81a+9b+c& =& 9\\ 121a+11b+c& =& 20\\ 256a+16b+c& =& 2\end{array}$.

   Posons $A=\left(\begin{array}{rrr}81& 9& 1\\ 121& 11& 1\\ 256& 16& 1\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{r}9\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ alors, le système S s'écrit sous la forme matricielle $A\times X=B$.

   À l'aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice A est inversible donc : $$\begin{array}{lll}A\times X=B& \iff & A^{-1}\times A\times X=A^{-1}\times B\\ & \iff & X=A^{-1}\times B\end{array}$$

   Soit $X=\left(\begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{1}{14}}& -{\displaystyle \frac{1}{10}}& {\displaystyle \frac{1}{35}}\\ -{\displaystyle \frac{27}{14}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}& -{\displaystyle \frac{4}{7}}\\ {\displaystyle \frac{88}{7}}& -{\displaystyle \frac{72}{5}}& {\displaystyle \frac{99}{35}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}9\\ 20\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-{\displaystyle \frac{13}{10}}\\ {\displaystyle \frac{63}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{846}{5}}\end{array}\right)$. Ainsi, $a=-{\displaystyle \frac{13}{10}}$, $b={\displaystyle \frac{63}{2}}$ et $c=-{\displaystyle \frac{846}{5}}$.

   La fonction f est définie par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{13}{10}}{x}^2+{\displaystyle \frac{63}{2}}x-{\displaystyle \frac{846}{5}}$.

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2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩽10& \iff & -{\displaystyle \frac{13}{10}}{x}^2+{\displaystyle \frac{63}{2}}x-{\displaystyle \frac{846}{5}}⩽10\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{13}{10}}{x}^2+{\displaystyle \frac{63}{2}}x-{\displaystyle \frac{896}{5}}⩽0\\ & \iff & -13x^2+315x-1792⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du polynôme du second degré $-13x^2+315x-1792$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }={315}^2-4\times 13\times 1792=6041$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-315-\sqrt{6041}}{-26}}={\displaystyle \frac{315+\sqrt{6041}}{26}}\approx \mathrm{15,1}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-315+\sqrt{6041}}{-26}}={\displaystyle \frac{315-\sqrt{6041}}{26}}\approx \mathrm{9,1}\end{array}$$

   Nous pouvons en déduire le signe de $f\left(x\right)=-13x^2+315x-1792$ :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{315-\sqrt{6041}}{26}}$		${\displaystyle \frac{315+\sqrt{6041}}{26}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Selon ce modèle, l'attente peut être inférieure à dix minutes avant 9 h et après 15 h.

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