Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2016

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

Année	2010	2011	2012
Nombre d'écrans 3D vendus	0	5000	11000

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année (2010 + n) est modélisé par une suite $(u_{n})$ , arithmético-géométrique, de premier terme $u_{0} = 0$ .
On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n, une relation de récurrence de la forme $u_{n + 1} = a \times u_{n} + b$ où a et b sont deux réels.

1. En supposant que $u_{1} = 5000$ , déterminer la valeur de b.
  $u_{1} = a \times u_{0} + b$ d'où $a \times 0 + b = 5000$ . Soit $b = 5000$ .
2. En supposant de plus que $u_{2} = 11000$ , montrer que pour tout entier naturel n, on a : $u_{n + 1} = 1,2 \times u_{n} + 5000$ .
  $u_{2} = a \times u_{1} + 5000$ d'où $\begin{matrix} a \times 5000 + 5000 = 11000 & \Leftrightarrow & a \times 5000 = 6000 \\ \Leftrightarrow & a = \frac{6000}{5000} = 1,2 \end{matrix}$
  Ainsi, $(u_{n})$ est la suite définie par $u_{0} = 0$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 1,2 \times u_{n} + 5000$ .
1. Calculer $u_{3}$ et $u_{4}$ .
  $\begin{matrix} u_{3} = 1,2 \times u_{2} + 5000 & soit & u_{3} = 1,2 \times 11000 + 5000 = 18200 \\ u_{4} = 1,2 \times u_{3} + 5000 & soit & u_{4} = 1,2 \times 18200 + 5000 = 26840 \end{matrix}$
  $u_{3} = 18200$ et $u_{4} = 26840$ .
2. En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement 18000 et 27000 écrans 3D. La modélisation semble-t-elle pertinente ?
  - $\frac{18200}{18000} \approx 1,011$ ce qui correspond à une surestimation des ventes d'environ 1,1 % à l'aide du modèle.
  - $\frac{26840}{27000} \approx 0,994$ ce qui correspond à une sous estimation des ventes d'environ 0,6 % à l'aide du modèle.
  Les valeurs estimées à l'aide du modèle sont proches des valeurs réelles. Pour les années 2013 et 2014, la modélisation est pertinente.

Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.

On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par : $v_{n} = u_{n} + 25000$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2. Préciser la valeur de son premier terme $v_{0}$ .
  - Le premier terme de la suite $(v_{n})$ est $v_{0} = v_{0} + 25000$ soit $v_{0} = 25000$ .
  - Pour tout entier n : $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} + 25000 \\ = & 1,2 u_{n} + 5000 + 25000 \\ = & 1,2 u_{n} + 30000 \\ = & 1,2 \times (u_{n} + 25000) \\ = & 1,2 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,2 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2. Le premier terme $v_{0} = 25000$ .
2. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 25000 \times {1,2}^{n} - 25000$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme $v_{0} = 25000$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 25000 \times {1,2}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} + 25000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} - 25000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 25000 \times {1,2}^{n} - 25000$ .

On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera 180000 unités.

Prouver que résoudre l'inéquation $u_{n} > 180000$ revient à résoudre l'inéquation ${1,2}^{n} > 8,2$ .
Pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} u_{n} > 180000 & \Leftrightarrow & 25000 \times {1,2}^{n} - 25000 > 180000 \\ \Leftrightarrow & 25000 \times {1,2}^{n} > 205000 \\ \Leftrightarrow & {1,2}^{n} > 8,2 \end{array}$
Ainsi, résoudre l'inéquation $u_{n} > 180000$ revient à résoudre l'inéquation ${1,2}^{n} > 8,2$ .

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel n, solution de l'inéquation ${1,2}^{n} > 8,2$ .

On a ${1,2}^{0} = 1$ par conséquent on initialise la variable W avec la valeur 1.

variables :	N est un entier naturel W est un nombre réel
Initialisation :	N prend la valeur 0 W prend la valeur 1
traitement :	Tant que $W ⩽ 8,2$ W prend la valeur $W \times 1,2$ N prend la valeur $N + 1$ Fin du Tant que
sortie :	Afficher N

Déterminer cet entier naturel n.
n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} {1,2}^{n} > 8,2 & \Leftrightarrow & \ln ({1,2}^{n}) > \ln 8,2 \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,2 > \ln 8,2 \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 8,2}{\ln 1,2} \end{array}$
Comme $\frac{\ln 8,2}{\ln 1,2} \approx 11,5$ alors :
le plus petit entier n solution de l'inéquation ${1,2}^{n} > 8,2$ est $n = 12$ . C'est en 2022 que le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera 180000 unités.

À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
Le nombre des ventes d'écrans 3D en 2022 est estimé par $u_{12} = 25000 \times {1,2}^{12} - 25000 \approx 197903$ .
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15 % est $1 - \frac{15}{100} = 0,85$ .
Après trois baisses successives de 15 % par an, une estimation du nombre des ventes d'écrans 3D est : $197903 \times {0,85}^{3} \approx 121537$
L'entreprise prévoit de vendre 121537 (ou 121500) écrans 3D en 2025.

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