sujet : Polynésie 2016

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x=2$. Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est 3,6 m².

   L'aire du panneau publicitaire est :$$AB\times BC=2\times f\left(2\right)=8{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{3,6}$$

   Si le point B a pour abscisse $x=2$ alors, une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est 3,6 m².

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2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?
   On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.

   Pour un point B d'abscisse x, l'aire du panneau publicitaire est $$AB\times BC=x\times f\left(x\right)=4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$$

   Étudions les variations de la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $g\left(x\right)=4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$.

   La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=4x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $$\begin{array}{rcl}g\prime \left(x\right)& =& 4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}+4x\times \left(-\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\right)\\ & =& 4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\\ & =& \left(4-\mathrm{1,6}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction g est la fonction $g\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $g\prime \left(x\right)=\left(4-\mathrm{1,6}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}>0$ donc $g\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(4-\mathrm{1,6}x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

   Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :

   x	0		2,5		10
   $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $g\left(x\right)$

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   Le maximum de la fonction g est atteint pour $x=\mathrm{2,5}$. C'est à dire, que l'aire du panneau publicitaire est maximale pour $x=\mathrm{2,5}$ et $f\left(\mathrm{2,5}\right)=4{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{1,47}$

   Les dimensions du panneau d'aire maximale sont 2,5 m et 1,47 m.

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