Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
On rappelle que désigne l'ensemble des nombres réels.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
affirmation A : La fonction f est croissante sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Pour tout réel x strictement positif :
Or sur l'intervalle , la fonction ln est négative donc :
La fonction f est décroissante sur l'intervalle . Par conséquent, l'affirmation A est fausse.
affirmation B : La fonction f est convexe sur l'intervalle .
La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée.
La fonction ln est strictement croissante donc la fonction f est convexe. Par conséquent, l'affirmation B est vraie.
affirmation C : Pour tout x appartenant à l'intervalle , .
donc l'affirmation C est fausse.
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction g définie sur .
On admet que g est dérivable sur et on rappelle que désigne la fonction dérivée de la fonction g.
On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.
affirmation D :.
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 1 :
L'affirmation D est vraie.
affirmation E :.
L'intégrale est égale à l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachré compris entre la courbe lles axes du repère et la droite d'équation . Comme cette aire est inférieure à l'aire du rectangle de côtés 1 et 3 on en déduit que :
donc l'affirmation E est vraie.
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