sujet : Polynésie 2016

corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. On donne le graphe probabiliste suivant :

   • affirmation A : L'état stable associé à ce graphe est $\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$.

     ATTENTION : l'affirmation A peut être vraie ou fausse !

     En effet, aucune indication n'est donnée sur l'ordre dans lequel on considère les sommets A et B ce qui semble conduire à un paradoxe. La détermination de l'état stable nous amène à considérer deux choix de réponses possibles.

     Notons $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ l'état probabiliste correspondant à la n-ième étape où $a_n$ est la probabilité d'être dans l'état A à la n-ième étape et, $b_n$ est la probabilité d'être dans l'état B à la n-ième étape. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ l'état stable associé à ce graphe, a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,4}a+\mathrm{0,3}b\\ b=\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,7}b\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}\mathrm{0,6}a-\mathrm{0,3}b=0\\ -\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,3}b=0\\ a+b=1\end{array}\end{array}$$

     Soit a et b solutions du système : $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}\mathrm{0,6}a-\mathrm{0,3}b=0\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a+b& =& 1\\ \mathrm{0,9}a& =& \mathrm{0,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ b={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$$

     On constate qu'il y a pour cette question deux réponses possibles :

     1. Raisonnement 1

        Soit $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$ la matrice de transition du graphe en respectant l'ordre A, B des sommets. L'état stable est noté $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec $a+b=1$ et $\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

        On peut déterminer l'état stable en résolvant le système précédent $\{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,4}a+\mathrm{0,3}b\\ b=\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,7}b\\ a+b=1\end{array}$ d'où $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$ donc L'affirmation A est fausse.

        ---

        Ou encore constater que $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,4}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,3}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,6}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,7}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\mathrm{1,1}}{3}}& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,9}}{3}}\end{array}\right)\end{array}$$

        $\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\times M\ne \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ donc la matrice $\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ n'est pas la matrice de l'état stable du graphe. L'affirmation A est fausse.

        ---

     2. Raisonnement 2

        Soit $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$ la matrice de transition du graphe en considérant l'ordre B, A des sommets. L'état stable est noté $P=\left(\begin{array}{cc}b& a\end{array}\right)$ avec $b+a=1$ et $\left(\begin{array}{cc}b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& a\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

        On peut déterminer l'état stable en résolvant le système précédent $\{\begin{array}{l}b=\mathrm{0,7}b+\mathrm{0,6}a\\ a=\mathrm{0,3}b+\mathrm{0,4}a\\ a+b=1\end{array}$ d'où $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ donc L'affirmation A est vraie.

        ---

        Ou encore constater que $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,7}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,6}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,3}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,4}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\end{array}$$

        $\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\times M=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ donc la matrice $\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$ est la matrice de l'état stable du graphe. L'affirmation A est vraie.

        ---

2. On donne le graphe pondéré G suivant :

   • affirmation B : Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.

     La chaîne A - B - C - D - E - F contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

     Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets C et E de degré impair donc il existe une chaîne eulérienne. L'affirmation B est vraie.

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   • affirmation C : La plus courte chaîne entre les sommets A et D est une chaîne de poids 5.

     Pour déterminer la chaîne de poids minimal entre les sommets A et D on utilise l'algorithme de Dijksta :

     A	B	C	D	E	F	Sommet sélectionné
     0	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
     	2 (A)	∞	∞	∞	1 (A)	F (1)
     	2 (A)	5 (F)	∞	5 (F)		B (2)
     		5 (F)	∞	4 (B)		E (4)
     		5 (F)	5 (E)			D (5)

     ---

     Le sommet D étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de D et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $D\leftarrow E\leftarrow B\leftarrow A$. La chaîne de poids minimal entre les sommets A et D est A - B - E - D de poids égal à 5.

     L'affirmation C est vraie.

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3. On considère la matrice $M=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right)$. On suppose que M est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets A, B, C, D dans cet ordre.

   • affirmation D : Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D.

     Le nombre de chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D est donné par le terme situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la quatrième colonne de la matrice $M^4$ : $$M^4={\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right)}^4=\left(\begin{array}{cccc}7& 6& 4& 6\\ 6& 11& 2& 6\\ 4& 2& 3& 4\\ 6& 6& 4& 7\end{array}\right)$$

     Il existe exactement 6 chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D. L'affirmation D est fausse.

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4. On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& a\end{array}\right)$.

   • affirmation E : Il existe un nombre réel a pour lequel B est l'inverse de A.

     La B est l'inverse de la matrice A si, et seulement si $A\times B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Or $$A\times B=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-a& 0\\ 0& a^2\end{array}\right)$$

     Donc $A\times B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ est équivalent à $\left(\begin{array}{cc}-a& 0\\ 0& a^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Le réel a est solution du système :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}-a=1\\ a^2=1\end{array}& \text{Soit}& a=-1\end{array}$$

     L'affirmation E est vraie. ($a=-1$)

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