Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2016

Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.
Une étude montre que 42 % des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35 % des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de 23 % pour la banque Miro.
Par ailleurs :

76 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ;
65 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ;
82 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées.

On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois banques.
On considère les évènements suivants :

K : « la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl » ;
L : « la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa » ;
M : « la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro » ;
A : « la demande de prêt est acceptée ».

On rappelle que pour tout évènement E, on note $P (E)$ sa probabilité et on désigne par $\bar{E}$ son événement contraire.

Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.

partie a

Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée.
Montrer que $P (A) \approx 0,735$ .
La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro.

partie b

Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $μ = 20$ et d'écart-type $σ = 7$ .

Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.
Déterminer une valeur approchée à 0,01 près du nombre réel a tel que $P (X > a) = 0,1$ .
Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

Exercice 2 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

Année	2010	2011	2012
Nombre d'écrans 3D vendus	0	5000	11000

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année (2010 + n) est modélisé par une suite $(u_{n})$ , arithmético-géométrique, de premier terme $u_{0} = 0$ .
On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n, une relation de récurrence de la forme $u_{n + 1} = a \times u_{n} + b$ où a et b sont deux réels.

1. En supposant que $u_{1} = 5000$ , déterminer la valeur de b.
2. En supposant de plus que $u_{2} = 11000$ , montrer que pour tout entier naturel n, on a : $u_{n + 1} = 1,2 \times u_{n} + 5000$ .
1. Calculer $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2. En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement 18000 et 27000 écrans 3D.
  La modélisation semble-t-elle pertinente ?

Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.

On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par : $v_{n} = u_{n} + 25000$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2.
  Préciser la valeur de son premier terme $v_{0}$ .
2. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 25000 \times {1,2}^{n} - 25000$ .

On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera 180000 unités.

Prouver que résoudre l'inéquation $u_{n} > 180000$ revient à résoudre l'inéquation ${1,2}^{n} > 8,2$ .

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel n, solution de l'inéquation ${1,2}^{n} > 8,2$ .

variables :	N est un entier naturel W est un nombre réel
Initialisation :	N prend la valeur 0 W prend la valeur …
traitement :	Tant que … W prend la valeur $W \times 1,2$ … Fin du Tant que
sortie :	Afficher …

Déterminer cet entier naturel n.

À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?

EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes

On rappelle que $ℝ$ désigne l'ensemble des nombres réels.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x \ln x - x + 1$ .
- affirmation A : La fonction f est croissante sur l'intervalle $] 0; 1 [$ .
- affirmation B : La fonction f est convexe sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
- affirmation C : Pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $f (x) ⩽ 50$ .
On donne ci-dessous la courbe représentative $𝒞_{g}$ d'une fonction g définie sur $ℝ$ .
On admet que g est dérivable sur $ℝ$ et on rappelle que $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction g.
On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe $𝒞_{g}$ au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.
- affirmation D : $g' (1) = - 2$ .
- affirmation E : $\int_{0}^{1} g (x) d x < 3$ .

EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

On donne le graphe probabiliste suivant :
- affirmation A : L'état stable associé à ce graphe est $(\begin{matrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix})$ .
On donne le graphe pondéré G suivant :
- affirmation B : Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.
- affirmation C : La plus courte chaîne entre les sommets A et D est une chaîne de poids 5.
On considère la matrice $M = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ .
On suppose que M est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets A, B, C, D dans cet ordre.
- affirmation D : Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D.
On considère les matrices $A = (\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix})$ et $B = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & a \end{matrix})$ .
- affirmation E : Il existe un nombre réel a pour lequel B est l'inverse de A.

Exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par : $f (x) = 4 e^{- 0,4 x}$ .
Cette courbe $𝒞_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe des ordonnées et le point C est sur la courbe $𝒞_{f}$ .

On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x = 2$ .
Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est 3,6 m².
Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?
On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.

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