sujet : Amérique du Nord 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

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1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu'un bulbe germe, c'est-à-dire qu'il donne naissance à une plante qui fleurit, est de 0,85.
   Il prélève au hasard 20 bulbes du lot. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 bulbes.
   On peut affirmer que :

   Soit X la variable aléatoire donnant le nombre bulbes qui germent. X suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\mathrm{0,85}$.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve :$$\begin{array}{ccc}P\left(X⩽15\right)\approx \mathrm{0,17}& \text{et}& P\left(X⩾15\right)=1-P\left(X⩽14\right)\approx \mathrm{0,933}\end{array}$$

   1. La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de 0,103.

   2. La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de 0,067.

   3. La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de 0,830.

   4. La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de 0,933.

2. On considère une fonction f définie sur $\left[0;8\right]$ dont ${𝒞}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

   Comme la fonction est positive sur l'intervalle $\left[0;8\right]$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$.

   Or l'aire de ce domaine est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 2 et 5 et l'aire d'un trapèze dont l'aire est égale à 9 unités d'aire.

   a. $8⩽{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽9$

   b. $9⩽{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽10$

   c. ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=f\left(4\right)-f\left(2\right)$

   d. ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=9$

3. On considère la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left(x\right)$.
   Une primitive de g sur $\left]0;+\infty \right[$ est la fonction G définie par :

   Dire que G est une primitive de la fonction g signifie que pour tout réel x strictement positif, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$

   Les propositions a et c étant manfestement fausses, soit G la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$. Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccccc}G\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1& =& \ln \left(x\right)\end{array}$$

   a. $G\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

   b. $G\left(x\right)=x\ln \left(x\right)$

   c. $G\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$

   d. $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

4. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln \left(x\right)>0$ est :

   $$\ln \left(x\right)>0\iff x>1$$

   a. $\left]0;+\infty \right[$

   b. $\left]0;1\right[$

   c. $\left]1;+\infty \right[$

   d. $\left]\mathrm{e};+\infty \right[$

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