sujet : Amérique du Nord 2018

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

1. Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d'extérieur expédiés au site internet, 5 % sont défectueux. Le responsable internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard 400 rubans LED d'extérieur parmi lesquels 25 sont défectueux.
   Ce contrôle remet-il en cause l'affirmation du fournisseur ?

   • La fréquence f des rubans LED défectueux dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{25}{400}}=\mathrm{0,0625}$.

   • On a $n=400$, $n\times p=400\times \mathrm{0,05}=20$ et $n\times \left(1-p\right)=400\times \mathrm{0,95}=380$.
     Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

     L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion $p=\mathrm{0,05}$ des rubans LED défectueux dans des échantillons de taille $n=400$ est : $$I=\left[\mathrm{0,05}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,95}}{400}}};\mathrm{0,05}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,95}}{400}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,028};\mathrm{0,072}\right]$$

   La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.Ce contrôle ne remet pas en cause l'affirmation du fournisseur.

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2. Le fournisseur n'a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d'intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d'intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de 400 rubans d'intérieur, parmi lesquels 38 sont défectueux.
   Donner un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de 95 %.

   • La fréquence f des rubans LED d'intérieur défectueux dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{38}{400}}=\mathrm{0,095}$

   • Un intervalle de confiance de la proportion p des rubans LED d'intérieur défectueux dans la production est :$$\left[\mathrm{0,095}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}};\mathrm{0,095}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,045};\mathrm{0,145}\right]$$

   Un intervalle de confiance de la proportion p des rubans LED défectueuxd'intérieur dans la production au seuil de confiance de 95 % est $I_c=\left[\mathrm{0,045};\mathrm{0,145}\right]$.

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partie b

À partir d'une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d'intérieur vendus chaque mois par le site à l'aide d'une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne $\mu =2500$ et d'écart-type $\sigma =400$.

1. Quelle est la probabilité que le site internet vende entre 2100 et 2900 rubans LED d'intérieur en un mois ?

   D'après le cours, $P\left(2100⩽X⩽2900\right)\approx \mathrm{0,683}$.

   La probabilité que le site internet vende entre 2100 et 2900 rubans LED d'intérieur en un mois est égale à 0,683.

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2. 1. Trouver, arrondie à l'entier, la valeur de a telle que $P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,95}$.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,95}$ pour $a\approx 3158$.

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   2. Interpréter la valeur de a obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock.

      Si un mois donné, le stock de rubans LED d'intérieur est de 3158 rubans, la probabilité qu'il y ait une rupture de stock est égale à 0,05.

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partie c

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, que l'on complètera au fur et à mesure.

   • 20 % des rubans LED proposés à la vente sont d'extérieur d'où $P\left(E\right)=\mathrm{0,20}$ et $P\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,20}=\mathrm{0,80}$.
   • 5 % des rubans LED d'extérieur sont défectueux d'où $P_E\left(D\right)=\mathrm{0,05}$ et $P_E\left(\overline{D}\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Déterminer la probabilité que le ruban LED soit d'extérieur et défectueux.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(E\cap D\right)=P_E\left(D\right)\times P\left(E\right)& \text{soit}& P\left(E\cap D\right)=\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,20}=\mathrm{0,01}\end{array}$$

   La probabilité que le ruban LED soit d'extérieur et défectueux est égale à 0,01.

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3. D'autre part on sait que 6 % de tous les rubans LED sont défectueux. Calculer puis interpréter $P_{\overline{E}}\left(D\right)$.

   • D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
     Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
     Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{rcl}P\left(D\right)=P\left(D\cap E\right)+P\left(D\cap \overline{E}\right)& \text{d'où}& P\left(D\cap \overline{E}\right)=P\left(D\right)-P\left(D\cap E\right)\\ & \text{soit}& P\left(D\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,06}-\mathrm{0,01}=\mathrm{0,05}\end{array}$$

   • $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{E}}\left(D\right)={\displaystyle \frac{P\left(D\cap \overline{E}\right)}{P\left(\overline{E}\right)}}& \text{soit}& P_{\overline{E}}\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{0,0625}\end{array}$$

   6,25 % des rubans LED d'interieur sont défectueux.

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Nous pouvons éventuellement, compléter l'arbre pondéré :

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