Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2018

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une société propose des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, 14 % des contrats supplémentaires sont souscrits et 7 sont résiliés.
En 2017, l'entreprise dénombrait 120 contrats souscrits.
On modélise la situation par une suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ est le nombre de contrats souscrits l'année $2017 + n$ .
Ainsi on a $u_{0} = 120$ .

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 1,14 u_{n} - 7$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 14 % est : $1 + \frac{14}{100} = 1,14$ Soit $u_{n}$ le nombre de contrats souscrits l'année $2017 + n$ , l'année suivante le nombre de contrats s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $u_{n} \overset{\times 1,14 ( augmentation de 14 % )}{\to} 1,14 u_{n} \overset{- 7 ( contrats résiliés )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{1,14 u_{n} - 7}}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 1,14 u_{n} - 7$ .
2. Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2018.
  $u_{1} = 1,14 \times 120 - 7 = 129,8$ .
  En 2018, il y aura environ 130 contrats d'entretien.
Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l'entreprise ne peut prendre ne charge que 190 contrats. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
On cherche donc à savoir en quelle année l'entreprise devra embaucher.
Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :
$n \leftarrow 0$
$u \leftarrow 120$
Tant que ...............
$n \leftarrow n + 1$
...............
Fin Tant que
Afficher $2017 + n$
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.
  $n \leftarrow 0$
  $u \leftarrow 120$
  Tant que $u ⩽ 190$
  $n \leftarrow n + 1$
  $u \leftarrow 1,14 \times u - 7$
  Fin Tant que
  Afficher $2017 + n$
2. Quelle est l'année affichée en sortie d'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  On a $u_{5} \approx 185$ et $u_{6} \approx 204$ .
  L'année affichée en sortie d'algorithme est 2023. L'entreprise devra embaucher davantage de personnel en 2023.
On définit la suite $(v_{n})$ par $v_{n} = u_{n} - 50$ pour tout entier naturel n.
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 50 \\ = & 1,14 u_{n} - 7 - 50 \\ = & 1,14 u_{n} - 57 \\ = & 1,14 \times (u_{n} - 50) \\ = & 1,14 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,14 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,14 et dont le premier terme $v_{0} = 120 - 50 = 70$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n puis démonter que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 70 \times {1,14}^{n} + 50$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,14 et de premier terme $v_{0} = 70$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 70 \times {1,14}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 50 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 50$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 70 \times {1,14}^{n} + 50$ .
3. Résoudre par le calcul l'inéquation $u_{n} > 190$ . Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 70 \times {1,14}^{n} + 50 > 190 & \Leftrightarrow & 70 \times {1,14}^{n} > 140 \\ \Leftrightarrow & {1,14}^{n} > 2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,14}^{n}) > \ln 2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,14 > \ln 2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 2}{\ln 1,14} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 2}{\ln 1,14} \approx 5,3$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 190$ est $n = 6$ . C'est à partir de la sixième année que l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.

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