Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Deux entreprises concurrentes « Alphacopy » et « Bêtacopy » proposent des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d'entretien sur un secteur donné.
Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année :

15 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy ;
25 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.

On définit les évènements suivants :

A : « le client est sous contrat avec l'entreprise Alphacopy » ;
B : « le client est sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy ».

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d'entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel n :

$a_{n}$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy l'année $2017 + n$ ;
$b_{n}$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy l'année $2017 + n$ .

On note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2017 + n$ .
L'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62 % des contrats d'entretien des photocopieurs.

partie a

Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition M associée à ce graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique.
D'une année sur l'autre :
- 15 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,15$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,15 = 0,85$ .
- 25 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,25$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,25 = 0,75$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix})$ .
Montrer que $P = (\begin{matrix} 0,625 & 0,375 \end{matrix})$ est l'état stable du système.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,85 a + 0,25 b & 0,15 a + 0,75 b \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} a = 0,85 a + 0,25 b \\ b = 0,15 a + 0,75 b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,15 a - 0,25 b = 0 \\ - 0,15 a + 0,25 b = 0 \end{matrix} \end{array}$
D'où a et b vérifient la relation $0,15 a - 0,25 b = 0$ . Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{rcl} 0,15 a - 0,25 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,4 a & = & 0,25 \\ a + b & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a = 0,625 \\ b = 0,375 \end{matrix} \end{array}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,625 & 0,375 \end{matrix})$ .
À votre avis, l'entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif ?
L'état $P_{n}$ converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,625 & 0,375 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, avec 62,5 % des contrats d'entretien des photocopieurs l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

partie b

En 2017, on sait que 46 % des clients ayant un contrat d'entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l'entreprise Alphacopy. On a ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} 0,46 & 0,54 \end{matrix})$ .

On rappelle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ .
Démontrer que, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,25 b_{n}$ puis que $a_{n + 1} = 0,60 a_{n} + 0,25$ .
Pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} a_{n} \times 0,85 + b_{n} \times 0,25 & a_{n} \times 0,15 + b_{n} \times 0,75 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, pour tout entier n, $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,25 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,85 a_{n} + 0,25 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,85 a_{n} + 0,25 - 0,25 a_{n} \\ = & 0,6 a_{n} + 0,25 \end{array}$
Pour tout entier naturel n non nul, on a $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,25$ .
À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.
$n \leftarrow 0$
$a \leftarrow 0,46$
Tant que ...............
$n \leftarrow n + 1$
...............
Fin Tant que
Afficher $2017 + n$
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.
  $n \leftarrow 0$
  $a \leftarrow 0,46$
  Tant que $a < 0,62$
  $n \leftarrow n + 1$
  $a \leftarrow 0,6 \times a + 0,25$
  Fin Tant que
  Afficher $2017 + n$
2. Quelle est l'année en sortie de l'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  - méthode 1
    On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.
  - méthode 2
    On calcule les termes de la suite $(a_{n})$ définie par $a_{0} = 0$ et, pour tout entier n, $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,25$
    Valeur de a 0,46 0,526 0,5656 0,5894 0,6036 0,6122 0,6173 0,6204
    Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7
    Condition $a < 0,62$ vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux
  - méthode 3
    À l'aide de la calculatrice, on calcule $\begin{matrix} P_{6} & = & (\begin{matrix} 0,46 & 0,54 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix})}^{6} & \approx & (\begin{matrix} 0,6173 & 0,3827 \end{matrix}) \end{matrix}$ et $\begin{matrix} P_{7} & = & (\begin{matrix} 0,46 & 0,54 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix})}^{7} & \approx & (\begin{matrix} 0,6203 & 0,3797 \end{matrix}) \end{matrix}$
  L'année affichée en sortie d'algorithme est 2024. L'entreprise Alphacopy atteindra son objectif en 2024.
On définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n} = a_{n} - 0,625$ pour tout entier naturel n.
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,625 \\ = & 0,6 a_{n} + 0,25 - 0,625 \\ = & 0,6 a_{n} - 0,375 \\ = & 0,6 \times (a_{n} - 0,625) \\ = & 0,6 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,6 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et dont le premier terme $u_{0} = 0,46 - 0,625 = - 0,165$ .
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n puis démontrer que, pour tout entier n, $a_{n} = - 0,165 \times {0,60}^{n} + 0,625$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $v_{0} = - 0,165$ donc pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = - 0,165 \times {0,6}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,625 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,625$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,165 \times {0,6}^{n} + 0,625$ .
3. Résoudre par le calcul l'inéquation $a_{n} ⩾ 0,62$ . Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} - 0,165 \times {0,6}^{n} + 0,625 ⩾ 0,62 & \Leftrightarrow & - 0,165 \times {0,6}^{n} ⩾ - 0,005 \\ \Leftrightarrow & {0,6}^{n} ⩽ \frac{1}{33} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,6}^{n}) ⩽ \ln \frac{1}{33} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,6 ⩽ - \ln 33 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ - \frac{\ln 33}{\ln 0,6} & \ln 0,6 < 0 \end{array}$
  Comme $- \frac{\ln 33}{\ln 0,6} \approx 6,8$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $a_{n} ⩾ 0,62$ est $n = 7$ . C'est à partir de la septième année que l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

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Valeur de a	0,46	0,526	0,5656	0,5894	0,6036	0,6122	0,6173	0,6204
Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6	7
Condition $a < 0,62$	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	faux