Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu'il y a « saturation ».
On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu'il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu'il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.
Les parties A, B et C sont indépendantes.

partie a

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (x est exprimé en heures).

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ».
$f (3) = 100$ . Il y a « saturation » au bout de trois heures de travail.
Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».
La fonction f est strctement décroissante sur l'intervalle $[3; 6]$ . À partir de de trois heures de travail il y a « rejet ».

partie b

Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » g est définie sur l'intervalle $[0; 30]$ par $g (x) = 12,5 x e^{- 0,125 x + 1}$ (x est exprimé en jour).

Démontrer que, pour tout x de l'intervalle $[0; 30]$ , $g' (x) = (12,5 - 1,5625 x) e^{- 0,125 x + 1}$ .
La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions : $g = u v$ d'où $g' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[0; 30]$ : ${\begin{array}{lcl} u (x) = 12,5 x & ; & u' (x) = 12,5 \\ v (x) = e^{- 0,125 x + 1} & ; & v' (x) = - 0,125 e^{- 0,125 x + 1} \end{array}$
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 30]$ : $\begin{array}{rcl} g' (x) & = & 12,5 \times e^{- 0,125 x + 1} + 12,5 x \times (- 0,125 e^{- 0,125 x + 1}) \\ = & (12,5 - 12,5 \times 0,125 \times x) \times e^{- 0,125 x + 1} \\ = & (12,5 - 1,5625 x) e^{- 0,125 x + 1} \end{array}$
Ainsi, $g'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 30]$ par $g' (x) = (12,5 - 1,5625 x) e^{- 0,125 x + 1}$ .

Étudier le signe de $g' (x)$ sur l'intervalle $[0; 30]$ puis dresser le tableau des variations de g sur cet intervalle.

Pour tout réel x, $e^{- 0,125 x + 1} > 0$ donc $g' (x)$ est du même signe que $(12,5 - 1,5625 x)$ . Or $\begin{array}{rcl} 12,5 - 1,5625 x ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 8 \end{array}$

Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée.

x	0		8		30
$g' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$g (x)$	0		100		$\approx 23,97$

Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet « saturation » ?
$g (8) = 100$ . Il y a « saturation » pour une durée de séjour de huit jours.

partie c

La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » h, est définie sur l'intervalle $[10; 50]$ par $h (x) = \frac{90}{1 + e^{- 0,25 x + 6}}$ (x est exprimé en millier d'euros).
La courbe $𝒞_{h}$ de la fonction h est représentée ci-dessous :

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1	Dériver (90/(1 + exp(-0.25 * x +6)))
	$\frac{22,5 e^{- 0,25 x + 6}}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{2}}$
2	Dériver (22.5 * exp(-0,25 x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))² )
	$\frac{5,625 e^{- 0,25 x + 6} (e^{- 0,25 x + 6} - 1)}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{3}}$

Donner sans justification une expression de $h ″ (x)$ .
D'après le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel : $h ″$ est la fonction définie sur l'intervalle $[10; 50]$ par $h ″ (x) = \frac{5,625 e^{- 0,25 x + 6} (e^{- 0,25 x + 6} - 1)}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{3}}$ .
Résoudre dans l'intervalle $[10; 50]$ l'inéquation $e^{- 0,25 x + 6} - 1 > 0$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} e^{- 0,25 x + 6} - 1 > 0 & \Leftrightarrow & e^{- 0,25 x + 6} > 1 \\ \Leftrightarrow & - 0,25 x + 6 > 0 \\ \Leftrightarrow & - 0,25 x > - 6 \\ \Leftrightarrow & x < 24 \end{array}$
Dans l'intervalle $[10; 50]$ , l'ensemble des solutions de l'inéquation $e^{- 0,25 x + 6} - 1 > 0$ est $S = [10; 24]$ .
Étudier la convexité de la fonction h sur l'intervalle $[10; 50]$ .
La convexité de la fonction h se déduit du signe de sa dérivée seconde.
Comme pour tout réel x, on a : $5,625 e^{- 0,25 x + 6} > 0$ et $1 + e^{- 0,25 x + 6} > 0$ on en déduit que $h ″ (x)$ est du même signe que $e^{- 0,25 x + 6} - 1$ sur l'intervalle $[10; 50]$ . D'où le tableau du signe de $h ″ (x)$ :
x 10 24 50
$h ″ (x)$ + $0_{|}^{|}$ −
Ainsi, la fonction h est convexe sur l'intervalle $[10; 24]$ et concave sur l'intervalle $[24; 50]$ .
À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.
- Pour tout réel x, on a : $22,5 e^{- 0,25 x + 6} > 0$ par conséquent, la fonction « envie » est la fonction $h'$ définie sur l'intervalle $[10; 50]$ par $h' (x) = \frac{22,5 e^{- 0,25 x + 6}}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{2}}$ .
- Les variations de la fonction « envie » $h'$ se déduisent du signe de sa dérivée $h ″$ . Par conséquent, la fonction $h'$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[24; 50]$ .
Selon ce modèle, à partir d'un salaire annuel de 24 000 euros, la fonction « envie » décroît.
Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80. (Arrondir au millier d'euros).
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} \frac{90}{1 + e^{- 0,25 x + 6}} = 80 & \Leftrightarrow & \frac{90 - 80 \times (1 + e^{- 0,25 x + 6})}{1 + e^{- 0,25 x + 6}} = 0 \\ \Leftrightarrow & 10 - 80 e^{- 0,25 x + 6} = 0 \\ \Leftrightarrow & e^{- 0,25 x + 6} = \frac{10}{80} \\ \Leftrightarrow & - 0,25 x + 6 = - \ln (8) \\ \Leftrightarrow & x = \frac{\ln (8) + 6}{0,25} \approx 32,3 \end{array}$
La fonction « satisfaction » atteint 80 pour un salaire annuel de 33 milliers d'euros.

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