On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu'il y a « saturation ».
On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu'il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu'il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.
Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (x est exprimé en heures).
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.
Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ».
. Il y a « saturation » au bout de trois heures de travail.
Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».
La fonction f est strctement décroissante sur l'intervalle . À partir de de trois heures de travail il y a « rejet ».
Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » g est définie sur l'intervalle par (x est exprimé en jour).
Démontrer que, pour tout x de l'intervalle , .
La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle :
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle puis dresser le tableau des variations de g sur cet intervalle.
Pour tout réel x, donc est du même signe que . Or
Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée.
x | 0 | 8 | 30 | ||
+ | − | ||||
0 | 100 |
Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet « saturation » ?
. Il y a « saturation » pour une durée de séjour de huit jours.
La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » h, est définie sur l'intervalle par (x est exprimé en millier d'euros).
La courbe de la fonction h est représentée ci-dessous :
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
1 | Dériver (90/(1 + exp(-0.25 * x +6))) |
2 | Dériver (22.5 * exp(-0,25 x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))2 ) |
Donner sans justification une expression de .
D'après le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel : est la fonction définie sur l'intervalle par .
Résoudre dans l'intervalle l'inéquation .
Pour tout réel x,
Dans l'intervalle , l'ensemble des solutions de l'inéquation est .
Étudier la convexité de la fonction h sur l'intervalle .
La convexité de la fonction h se déduit du signe de sa dérivée seconde.
Comme pour tout réel x, on a : et on en déduit que est du même signe que sur l'intervalle . D'où le tableau du signe de :
x | 10 | 24 | 50 | ||
+ | − |
Ainsi, la fonction h est convexe sur l'intervalle et concave sur l'intervalle .
À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.
Pour tout réel x, on a : par conséquent, la fonction « envie » est la fonction définie sur l'intervalle par .
Les variations de la fonction « envie » se déduisent du signe de sa dérivée . Par conséquent, la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle .
Selon ce modèle, à partir d'un salaire annuel de 24 000 euros, la fonction « envie » décroît.
Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80. (Arrondir au millier d'euros).
Pour tout réel x,
La fonction « satisfaction » atteint 80 pour un salaire annuel de 33 milliers d'euros.
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