sujet : Antilles Guyane septembre 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

1. Calculer le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013.

   Le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013 est :$${\displaystyle \frac{361-330}{330}}\times 100\approx \mathrm{9,4}$$

   En 2013, le chiffre d'affaires a augmenté d'environ 9 % par rapport à 2012.

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2. Un cabinet d'étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d'affaires des ventes de produits bio par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel n, $u_n$ représentait le chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, de l'année $2012+n$.
   Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d'affaires augmente de 9 % chaque année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme $u_n$ pour un entier naturel n donné par l'utilisateur.

   1. Dans les algorithmes ci-dessous, N est un entier, donné par l'utilisateur, qui désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2012 et U un nombre réel qui désigne le chiffre d'affaires en $2012+N$.
      Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.

      Algorithme A		Algorithme B		Algorithme C
      $U\leftarrow 330$ Pour i variant de 1 à N $W\leftarrow \mathrm{1,09}\times U$ Fin Pour		$U\leftarrow 330$ Pour i variant de 1 à N $U\leftarrow \mathrm{1,09}\times U$ Fin Pour		Pour i variant de 1 à N $U\leftarrow 330$ $U\leftarrow \mathrm{1,09}\times U$ Fin Pour

      On admet que l'algorithme B convient.

      • L'algorithme A ne convient pas car la valeur calculée W à chaque itération est identique et égale à $W=\mathrm{1,09}\times 330=\mathrm{359,7}$
      • L'algorithme C ne convient pas car la valeur de U est réinitialisée à 330 à chaque itération. La valeur calculée est égale à $U=\mathrm{1,09}\times 330=\mathrm{359,7}$

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   2. Pour la valeur 5 de N saisie dans l'algorithme B, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.

      valeur de i		1	2	3	4	5
      valeur de U (arrondie à l'unité)	330	360	392	427	466	508

   3. Justifier, qu'au vu de ces résultats, le cabinet d'étude conclut que ce modèle n'est pas pertinent dès 2016.

      À partir de 2015, le chiffre d'affaire obtenu par ce modèle est de plus en plus sous évalué par rapport au chiffre d'affaire réalisé (d'environ $-\mathrm{4,7}\%$ en 2016 et d'environ $-\mathrm{5,7}\%$ en 2017). Par conséquent, ce modèle n'est pas pertinent.

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3. Le cabinet d'étude décide de modéliser ce chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0=432$ et $v_{n+1}=\mathrm{0,9}{v}_n+110$ pour tout entier naturel n.
   Le terme $v_n$ représente alors ce chiffre d'affaires en $2015+n$.

   1. Calculer $v_1$ et $v_2$.

      $$\begin{array}{clcl}& v_1=\mathrm{0,9}{v}_0+110& \text{soit}& v_1=\mathrm{0,9}\times 432+110=\mathrm{498,8}\approx 499\\ \text{et}& v_2=\mathrm{0,9}{v}_1+110& \text{soit}& v_2=\mathrm{0,9}\times \mathrm{498,8}+110=\mathrm{558,92}\approx 559\end{array}$$

      Selon ce ce modèle, le chiffre d'affaire réalisé en 2016 est d'environ 499 milliers d'euros et celui réalisé en 2017 est d'environ 559 milliers d'euros.

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   2. On pose $w_n=v_n-1100$ pour tout entier naturel n. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{w}_{n+1}& =& v_{n+1}-1100\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{v}_n+110-1100\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{v}_n-990\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}\times \left(v_n-1100\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{w}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $w_{n+1}=\mathrm{0,9}{w}_n$ donc $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme $w_0=432-1100=-668$.

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   3. Pour tout entier naturel n, exprimer $w_n$ en fonction de n.
      En déduire que $v_n=1100-668\times {\mathrm{0,9}}^n$ pour tout entier naturel n.

      $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $w_0=-668$ donc pour tout entier naturel n, on a :$$w_n=-668\times {\mathrm{0,9}}^n$$

      Comme pour tout entier naturel n, $w_n=v_n-1100\iff v_n=w_n+1100$ on en déduit que :

      $v_n=1100-668\times {\mathrm{0,9}}^n$ pour tout entier naturel n.

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   4. Ce modèle permet-il d'envisager que le chiffre d'affaires dépasse un jour 2 millions d'euros ?

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcl}1100-668\times {\mathrm{0,9}}^n>2000& \iff & -668\times {\mathrm{0,9}}^n>900\\ & \iff & {\mathrm{0,9}}^n<-{\displaystyle \frac{900}{668}}\end{array}$$

      Or pour tout entier naturel n, ${\mathrm{0,9}}^n>0$. Par conséquent, l'inéquation $1100-668\times {\mathrm{0,9}}^n>2000$ n'a pas de solution.

      Selon ce modèle, le chiffre d'affaires ne dépassera pas 2 millions d'euros.

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