Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane septembre 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

Une grande enseigne souhaite étudier l'évolution du chiffre d'affaires des ventes de ses produits « bio ». Les données collectées ces dernières années sont les suivantes :

Années201220132014201520162017
Chiffre d'affaires (millier d'euros)330361392432489539
  1. Calculer le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013.

    Le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013 est :361-330330×1009,4

    En 2013, le chiffre d'affaires a augmenté d'environ 9 % par rapport à 2012.


  2. Un cabinet d'étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d'affaires des ventes de produits bio par une suite un où, pour tout entier naturel n, un représentait le chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, de l'année 2012+n.
    Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d'affaires augmente de 9 % chaque année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme un pour un entier naturel n donné par l'utilisateur.

    1. Dans les algorithmes ci-dessous, N est un entier, donné par l'utilisateur, qui désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2012 et U un nombre réel qui désigne le chiffre d'affaires en 2012+N.
      Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.

      Algorithme AAlgorithme BAlgorithme C

      U330
      Pour i variant de 1 à N
      W1,09×U
      Fin Pour

      U330
      Pour i variant de 1 à N
      U1,09×U
      Fin Pour

      Pour i variant de 1 à N
      U330
      U1,09×U
      Fin Pour

      On admet que l'algorithme B convient.

      • L'algorithme A ne convient pas car la valeur calculée W à chaque itération est identique et égale à W=1,09×330=359,7
      • L'algorithme C ne convient pas car la valeur de U est réinitialisée à 330 à chaque itération. La valeur calculée est égale à U=1,09×330=359,7

    2. Pour la valeur 5 de N saisie dans l'algorithme B, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.

      valeur de i12345
      valeur de U
      (arrondie à l'unité)
      330360392427466508
    3. Justifier, qu'au vu de ces résultats, le cabinet d'étude conclut que ce modèle n'est pas pertinent dès 2016.

      À partir de 2015, le chiffre d'affaire obtenu par ce modèle est de plus en plus sous évalué par rapport au chiffre d'affaire réalisé (d'environ -4,7% en 2016 et d'environ -5,7% en 2017). Par conséquent, ce modèle n'est pas pertinent.


  3. Le cabinet d'étude décide de modéliser ce chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, par la suite vn définie par v0=432 et vn+1=0,9vn+110 pour tout entier naturel n.
    Le terme vn représente alors ce chiffre d'affaires en 2015+n.

    1. Calculer v1 et v2.

      v1=0,9v0+110soitv1=0,9×432+110=498,8499etv2=0,9v1+110soitv2=0,9×498,8+110=558,92559

      Selon ce ce modèle, le chiffre d'affaire réalisé en 2016 est d'environ 499 milliers d'euros et celui réalisé en 2017 est d'environ 559 milliers d'euros.


    2. On pose wn=vn-1100 pour tout entier naturel n. Montrer que la suite wn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, wn+1=vn+1-1100=0,9vn+110-1100=0,9vn-990=0,9×vn-1100=0,9wn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, wn+1=0,9wn donc wn est une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme w0=432-1100=-668.


    3. Pour tout entier naturel n, exprimer wn en fonction de n.
      En déduire que vn=1100-668×0,9n pour tout entier naturel n.

      wn est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme w0=-668 donc pour tout entier naturel n, on a :wn=-668×0,9n

      Comme pour tout entier naturel n, wn=vn-1100vn=wn+1100 on en déduit que :

      vn=1100-668×0,9n pour tout entier naturel n.


    4. Ce modèle permet-il d'envisager que le chiffre d'affaires dépasse un jour 2 millions d'euros ?

      Pour tout entier naturel n, 1100-668×0,9n>2000-668×0,9n>9000,9n<-900668

      Or pour tout entier naturel n, 0,9n>0. Par conséquent, l'inéquation 1100-668×0,9n>2000 n'a pas de solution.

      Selon ce modèle, le chiffre d'affaires ne dépassera pas 2 millions d'euros.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.