sujet : Antilles Guyane septembre 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. Justifier que $d=2$.

   Cette espèce compte initialement 2 centaines d'individus d'où $f\left(0\right)=2$ soit $d=2$.

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2. Montrer que a, b et c sont solutions du système :$\{\begin{array}{lcl}8a+4b+2c& =& 16\\ 27a+9b+3c& =& \mathrm{28,5}\\ 1000a+100b+10c& =& 88\end{array}$

   • $f\left(2\right)=18$ d'où $8a+4b+2c+2=18\iff 8a+4b+2c=16$
   • $f\left(3\right)=\mathrm{30,5}$ d'où $27a+9b+3c+2=\mathrm{30,5}\iff 27a+9b+3c=\mathrm{28,5}$
   • $f\left(10\right)=90$ d'où $1000a+100b+10c+2=90\iff 1000a+100b+10c=88$

   Ainsi, a, b et c sont solutions du système :$\{\begin{array}{lcl}8a+4b+2c& =& 16\\ 27a+9b+3c& =& \mathrm{28,5}\\ 1000a+100b+10c& =& 88\end{array}$.

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3. Déterminer les matrices A, X et B qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme $AX=B$.

   Posons $A=\left(\begin{array}{rrr}8& 4& 2\\ 27& 9& 3\\ 1000& 100& 10\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{l}16\\ \mathrm{28,5}\\ 88\end{array}\right)$. Le système précédent s'écrit alors, sous la forme $AX=B$.

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4. Résoudre le système.

   À l'aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice A est inversible et $A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{1}{16}}& -{\displaystyle \frac{1}{21}}& {\displaystyle \frac{1}{560}}\\ -{\displaystyle \frac{13}{16}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}& -{\displaystyle \frac{1}{112}}\\ {\displaystyle \frac{15}{8}}& -{\displaystyle \frac{20}{21}}& {\displaystyle \frac{3}{280}}\end{array}\right)$ on en déduit que $$AX=B⟺A^{-1}AX=A^{-1}B⟺X=A^{-1}B$$

   Soit $$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{1}{16}}& -{\displaystyle \frac{1}{21}}& {\displaystyle \frac{1}{560}}\\ -{\displaystyle \frac{13}{16}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}& -{\displaystyle \frac{1}{112}}\\ {\displaystyle \frac{15}{8}}& -{\displaystyle \frac{20}{21}}& {\displaystyle \frac{3}{280}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}16\\ \mathrm{28,5}\\ 88\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-\mathrm{0,2}\\ \mathrm{2,5}\\ \mathrm{3,8}\end{array}\right)$$

   On obtient ainsi, l'unique solution du système $a=-\mathrm{0,2}$ ; $b=\mathrm{2,5}$ et $c=\mathrm{3,8}$.

   Ainsi, f est la fonction définie par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{2,5}{x}^2+\mathrm{3,8}x+2$

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5. En supposant que l'évolution suit, sur l'intervalle $\left[0;13\right]$, le modèle décrit par la fonction f, déterminer au bout de combien de temps la quantité de l'espèce étudiée sera maximale (arrondir à la semaine près).

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie par $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,6}{x}^2+5x+\mathrm{3,8}$

   Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré $-\mathrm{0,6}{x}^2+5x+\mathrm{3,8}$

   Le discriminant du trinôme est : $\mathrm{\Delta }=5^2-4\times \left(-\mathrm{0,6}\right)\times \mathrm{3,8}=\mathrm{34,12}$.

   Le trinôme admet deux racines distinctes :$x_1={\displaystyle \frac{-5-\sqrt{\mathrm{34,12}}}{-\mathrm{1,2}}}\approx 9$ et $x_2={\displaystyle \frac{-5-\sqrt{\mathrm{34,12}}}{-\mathrm{1,2}}}\approx -\mathrm{0,7}$.

   Comme $-\mathrm{0,6}<0$, nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ puis, les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;13\right]$ :

   x	0		$x_1\approx 9$		13
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$

   Selon ce modèle, la quantité de l'espèce étudiée sera maximale au bout de combien de 9 semaines.

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partie b

1. 1. Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et en y revenant ? Si oui, donner un tel parcours.

      Les sommets L et C étant de degré 3, il n'existe pas de cycle eulérien. Par conséquent, il n'existe pas de parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et en y revenant.

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   2. Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et sans nécessairement y revenir ? Si oui, donner un tel parcours.

      Le cycle L - S - C - E - P - O - M - F - R - L contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets, il existe une chaîne les reliant. Donc le graphe est connexe.

      Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets de degré impair L et C par conséquent, il existe une chaîne eulérienne d'extrémités L et C.

      Un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique L et se terminant en C est possible par exemple le parcours L - S - C - L - R - F - E - P - O - M - F - P - M - E - C.

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2. Déterminer un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle O.

   Déterminons un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle O à l'aide de l'algorithme de Dijkstra.

   L	S	R	C	E	F	P	M	O	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	G (0)
   	300 (L)	280 (L)	310 (L)	∞	∞	∞	∞	∞	R (280)
   	300 (L)		310 (L)	∞	390 (R)	∞	∞	∞	S (300)
   			310 (L)	∞	390 (R)	∞	∞	∞	C (310)
   				460 (E)	390 (R)	∞	∞	∞	F (390)
   				460 (E) 450 (F)		650 (F)	460 (F)	∞	E (450)
   						650 (F) 640 (E)	460 (F)	∞	M (460)
   						640 (E) 510 (M)		560 (M)	P (510)
   								560 (M) 550 (P)	O (550)

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   Le sommet O étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de O et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $O\leftarrow P\leftarrow M\leftarrow F\leftarrow R\leftarrow L$.

   La distance minimale joignant le local technique à la parcelle O est de 550 mètres en effectuant le parcours L - R - F - M - P - O.

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