Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2018

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x - \ln (x)$ .
On appelle $𝒞_{f}$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ et T la tangente à $𝒞_{f}$ au point d'abscisse $x = 3$ .

Cette tangente T à $𝒞_{f}$ passe-t-elle par l'origine du repère ?

La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f' (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .

Une équation de la tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 3 est : $y = f' (3) \times (x - 3) + f (3)$

Or $f (3) = 3 - \ln (3)$ et $f' (3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 3 a pour équation : $\begin{matrix} y = \frac{2}{3} \times (x - 3) + 3 - \ln (3) & ⟺ & y = \frac{2}{3} x + 1 - \ln (3) \end{matrix}$

La tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y = \frac{2}{3} x + 1 - \ln (3)$ donc cette tangente ne passe par l'origine du repère.

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