sujet : Antilles Guyane septembre 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

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partie a

1. On note F une primitive de f sur $ℝ$, une expression de $F\left(x\right)$ peut être :

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Les réponses b et c étant manifestement fausses, calculons les dérivées des fonctions définies sur $ℝ$ par $F_a\left(x\right)=\left(-7-7x\right){\mathrm{e}}^x$ et $F_d\left(x\right)=\left(-7x+7\right){\mathrm{e}}^x$

   Ces deux fonctions sont dérivables comme produit $uv$ de deux fonctions dérivables.

   $F_a\left(x\right)=\left(-7-7x\right){\mathrm{e}}^x$ Pour tout réel x, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-7-7x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-7\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$ Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{F}_a^{\prime }\left(x\right)& =& -7{\mathrm{e}}^x+\left(-7-7x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(-14-7x\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$ $F_a^{\prime }\left(x\right)\ne f\left(x\right)$

   $F_d\left(x\right)=\left(-7x+7\right){\mathrm{e}}^x$ Pour tout réel x, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-7x+7& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-7\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$ Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{F}_d^{\prime }\left(x\right)& =& -7{\mathrm{e}}^x+\left(-7x+7\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& -7x{\mathrm{e}}^x\end{array}$$ $F_d^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$

   La fonction F définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=\left(-7x+7\right){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de f sur $ℝ$.

   a. $\left(-7-7x\right){\mathrm{e}}^x$

   b. $-7{\mathrm{e}}^x$

   c. $-7x{\mathrm{e}}^x$

   d. $\left(-7x+7\right){\mathrm{e}}^x$

2. Soit A l'aire, exprimée en unité d'aire, comprise entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-3$ et $x=0$. On a :

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ par conséquent, sur l'intervalle $\left[-3;0\right]$ la fonction f est positive. Donc l'aire, exprimée en unité d'aire, comprise entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-3$ et $x=0$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur $\left[-3;0\right]$ : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-3}^0}f\left(x\right)\mathrm{d}x& =& {\left[\left(-7x+7\right){\mathrm{e}}^x\right]}_{-3}^0\\ & =& 7{\mathrm{e}}^0-28{\mathrm{e}}^{-3}\\ & \approx & \mathrm{5,6}\end{array}$$

   a. $3<A<4$

   b. $5<A<6$

   c. $A<0$

   d. $A>7$

3. On a :

   À partir de la courbe représentative de la fonction f, on peut constater que les propositions a, b et c sont manifestement fausses :

   • La fonction f n'est pas monotone sur l'intervalle $\left[-6;0\right]$ donc la dérivée $f\prime$ change de signe sur cet intervalle.
   • La fonction f semble concave sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$.
   • La fonction f ne change pas de convexité pour $x=-1$.

   a. $f\prime$ est positive sur l'intervalle $\left[-6;0\right]$	b. f est convexe sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$
   c. ${𝒞}_f$ admet un point d'inflexion pour $x=-1$	d. $f″$ change de signe en $x=-2$

partie b

On considère la loi normale X de paramètres $\mu =19$ et $\sigma =5$.

4. La meilleure valeur approchée de $P\left(19⩽X⩽25\right)$ est :

   À l'aide de la calculatrice, on obtient $P\left(19⩽X⩽25\right)\approx \mathrm{0,385}$

   a. 0,385

   b. 0,084

   c. 0,885

   d. 0,5

5. Une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près de la probabilité $P\left(X⩾25\right)$ est :

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩾25\right)& =& P\left(X⩾19\right)-P\left(19⩽X<25\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(19⩽X<25\right)\approx \mathrm{0,115}\end{array}$$

   a. $p\approx \mathrm{0,885}$

   b. $p\approx \mathrm{0,115}$

   c. $p\approx \mathrm{0,385}$

   d. $p\approx \mathrm{0,501}$

6. Le nombre entier k tel que $P\left(X>k\right)\approx \mathrm{0,42}$ à ${10}^{-2}$ près est :

   Selon le modèle de calculatrice, le résultat est immédiat $P\left(X>k\right)=\mathrm{0,42}$ pour $k\approx 20$ ou bien on obtient le résultat de la manière suivante : $$\begin{array}{ccccc}P\left(X>k\right)=\mathrm{0,42}& \iff & 1-P\left(X<k\right)=\mathrm{0,42}& \iff & P\left(X<k\right)=\mathrm{0,58}\end{array}$$ Soit en utilisant la calculatrice $k\approx 20$.

   a. $k=19$

   b. $k=29$

   c. $k=20$

   d. $k=14$

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