sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2018

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, au millième.

partie a

1. Recopier l'arbre pondéré ci-dessous et traduire sur cet arbre les données de l'exercice.

   • 12,9 % des élèves sont gauchers d'où $p\left(G\right)=\mathrm{0,129}$ et $p\left(\overline{G}\right)=1-\mathrm{0,129}=\mathrm{0,871}$.
   • Parmi les gauchers, on trouve 40 % de filles d'où $p_G\left(F\right)=\mathrm{0,4}$ et $p_G\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille gauchère ?

   $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap G\right)=p_G\left(F\right)\times p\left(G\right)& \text{soit}& p\left(F\cap G\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,129}=\mathrm{0,0516}\end{array}$$

   La probabilité que l'élève choisi soit une fille gauchère est égale à 0,0516.

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3. Dans ces écoles, il y a 51 % de filles. Montrer que $p\left(\overline{G}\cap F\right)=\mathrm{0,4584}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{rcl}p\left(F\right)=p\left(F\cap G\right)+p\left(F\cap \overline{G}\right)& \text{d'où}& p\left(F\cap \overline{G}\right)=p\left(F\right)-p\left(F\cap G\right)\\ & \text{soit}& p\left(F\cap \overline{G}\right)=\mathrm{0,51}-\mathrm{0,0516}=\mathrm{0,4584}\end{array}$$

   Ainsi, $p\left(\overline{G}\cap F\right)=\mathrm{0,4584}$.

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4. Sachant que l'on est en présence d'une élève fille, quelle est la probabilité qu'elle soit droitière ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_F\left(\overline{G}\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap \overline{G}\right)}{p\left(F\right)}}& \text{soit}& p_F\left(\overline{G}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4584}}{\mathrm{0,51}}}\approx \mathrm{0,899}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'une élève fille soit droitière est 0,899.

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partie b

En France, la proportion de gauchers est de 13 %.
Un club d'escrime compte 230 adhérents dont 110 gauchers.

1. Quelle est la fréquence de gauchers observée dans le club d'escrime ?

   La fréquence de gauchers observée dans le club d'escrime est : $f={\displaystyle \frac{110}{230}}={\displaystyle \frac{11}{23}}\approx \mathrm{0,478}$

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2. À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, déterminer si le club d'escrime est représentatif de la population française.

   Soit $p=\mathrm{0,13}$ la proportion de gauchers. On a $n=230$, $n\times p=230\times \mathrm{0,13}=\mathrm{29,9}$ et $n\times \left(1-p\right)=230\times \mathrm{0,87}=\mathrm{200,1}$.
   Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de gauchers dans des échantillons de taille $n=230$ est : $$I=\left[\mathrm{0,13}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,13}\times \mathrm{0,87}}{230}}};\mathrm{0,13}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,13}\times \mathrm{0,87}}{230}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,086};\mathrm{0,174}\right]$$

   La fréquence de gauchers observée dans le club d'escrime n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Par conséquent, au risque d'erreur de 5 %, le club d'escrime n'est pas représentatif de la population française.

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partie c

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs gauchers est modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance ${\mu }_1=268$ et d'écart-type ${\sigma }_1=20$.
Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs droitiers est modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance ${\mu }_2=280$ et d'écart-type ${\sigma }_2=22$.

1. 1. Déterminer $P\left(X⩽300\right)$ et $P\left(Y⩽300\right)$.

      $\begin{array}{rcl}P\left(X⩽300\right)& =& P\left(X⩽268\right)+P\left(268<X⩽300\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+P\left(268<X⩽300\right)\\ & \approx & \mathrm{0,945}\end{array}$

      $\begin{array}{rcl}P\left(Y⩽300\right)& =& P\left(Y⩽280\right)+P\left(280<Y⩽300\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+P\left(280<Y⩽300\right)\\ & \approx & \mathrm{0,818}\end{array}$

      $P\left(X⩽300\right)\approx \mathrm{0,945}$ et $P\left(Y⩽300\right)\approx \mathrm{0,818}$.

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   2. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

      La probabilité d'avoir un temps de réaction inférieur à 300 millisecondes est plus inportante chez les escrimeurs gauchers que chez les escrimeurs droitiers.

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2. Sur le graphique ci-dessous, les courbes C et C ' représentent les fonctions de densité des variables aléatoires X et Y.
   Indiquer, pour chaque variable aléatoire X et Y, la courbe correspondante. Justifier.

   La courbe C ' est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=280$ par conséquent, C ' est la courbe représentative de la fonction de densité de la variables aléatoire Y et C est la courbe représentative de la fonction de densité de la variables aléatoire X.

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