sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Un investisseur immobilier doit visiter plusieurs biens à vendre dans une ville.
Le graphe ci-dessous représente le plan de la ville. Les biens à visiter sont identifiés par les lettres A, B, C, D, E, F et G. Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minute, entre deux biens.

1. 1. Afin de découvrir la ville, l'investisseur souhaite emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens. Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un tel trajet ?

      • Le cycle A - B - C - E - D - G - F - A contient tous les sommets du graphe par conséquent, pour toute paire de sommets, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.
      • Les sommets A et D sont les deux seuls sommets de degré impair.

      Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets impairs donc le graphe admet une chaîne eulérienne d'extrémités les sommets A et D. Par conséquent, un trajet permettant d'emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens est possible.

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   2. Donner un exemple d'un tel trajet et préciser sa durée en minute.

      Par exemple le trajet D - B - E - C - B - A - F - E - D - G - F - C - A pour une durée totale de 145 minutes.

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2. Lorsque l'investisseur immobilier termine ses visites par le bien A, il souhaite revenir au bien G le plus rapidement possible. Déterminer ce plus court chemin à l'aide d'un algorithme. Quelle est sa durée en minute ?

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra on cherche la chaîne de poids minimal entre les sommets A et G.

   A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
   	8 (A)	12 (A)	∞	∞	14 (A)	∞	B (8)
   		12 (A)	24 (B)	23 (B)	14 (A)	∞	C (12)
   			24 (B)	23 (B) 22 (C)	14 (A)	∞	F (14)
   			24 (B)	22 (C)		33 (F)	E (22)
   			24 (B)			33 (F)	D (24)
   						33 (D) 30 (D)	G (30)

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   Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G\leftarrow D\leftarrow B\leftarrow A$.

   Le trajet le plus court permettant de rejoindre le bien G en partant de A est le parcours A - B - D - G en 30 minutes.

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partie b

1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets S et T.

   Notons $S_n$ l'évènement « le locataire occupe un studio l'année $2018+n$ » et $T_n$ l'évènement « le locataire occupe un T2 l'année $2018+n$ ». Chaque année :

   • la moitié des locataires en studio le conserve tandis que l'autre moitié change pour un T2 d'où $p_{S_n}\left(S_{n+1}\right)=\mathrm{0,5}$ et $p_{S_n}\left(T_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$ ;
   • un quart des locataires en T2 change pour un studio tandis que les autres conservent leur T2 d'où $p_{T_n}\left(S_{n+1}\right)=\mathrm{0,25}$ et $p_{T_n}\left(T_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Pour tout entier naturel n, on note $s_n$ la proportion de locataires en studio et $t_n$ la proportion de locataires en T2 l'année $2018+n$.

   1. Donner la matrice de transition associée à ce graphe.

      Pour tout entier naturel n, notons $P_n=\left(\begin{array}{cc}{s}_n& t_n\end{array}\right)$ la matrice de l'état probabiliste l'année $2018+n$. Alors :

      la matrice de transition associée au graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$ est $M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)$.

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   2. Donner l'état initial du graphe.

      En 2018, 80 % des locataires occupent un studio et 20 % des locataires occupent un T2 d'où $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$.

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   3. Quel sera le pourcentage, arrondi à 0,1 %, de locataires en studio en 2023 ?

      $P_5=P_0\times M^5$ soit : $$\begin{array}{ccccc}{P}_5& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)}^5& \approx & \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,334}& \mathrm{0,666}\end{array}\right)\end{array}$$

      En 2023, 33,4 % des locataires occuperont un studio.

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