Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait 800 inscrits.
Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15 % des inscriptions ainsi que 90 désinscriptions.
Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ le nombre d'inscrits l'année $2016 + n$ .
Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de 150 euros, sur laquelle l'école conserve un bénéfice de 20 euros après avoir payé tous ses frais fixes. L'école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d'un budget de 125 000 euros.

partie a

Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe. Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne C soient arrondis à l'unité.

Quelle formule peut-on saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d'inscrits l'année de rang n ?
La formule saisie en C3 est : « =C2*1,15-90 ».
Quelle formule peut-on saisir en E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l'année de rang n ?
La formule saisie en E3 est : « =E2+D3 ».

Compléter sur l'annexe, à rendre avec la copie, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 2021 et 2022.

	A	B	C	D	E
1	année	rang de l'année	nombre d'inscrits	bénéfice annuel	bénéfices cumulés
2	2016	0	800	16 000	16 000
3	2017	1	830	16 600	32 600
4	2018	2	865	17 300	49 900
5	2019	3	904	18 080	67 980
6	2020	4	950	19 000	86 980
7	2021	5	1 002	20 040	107 020
8	2022	6	1 063	21 260	128 280

En quelle année l'école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse ?
L'école pourra construire sa nouvelle salle de danse en 2022.

partie b

Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 1,15 u_{n} - 90$ et préciser $u_{0}$ .
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 15 % est : $1 + \frac{15}{100} = 1,15$ Soit $u_{n}$ le nombre d'inscrits l'année $2016 + n$ , l'année suivante le nombre d'inscrits s'obtient à l'aide du montage suivant :
$u_{n} \overset{\times 1,15 ( augmentation de 15 % )}{\to} 1,15 u_{n} \overset{- 90 ( désinscriptions )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{1,15 u_{n} - 90}}$
La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 800$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 1,15 u_{n} - 90$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel n, par $v_{n} = u_{n} - 600$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 600 \\ = & 1,15 u_{n} - 90 - 600 \\ = & 1,15 u_{n} - 690 \\ = & 1,15 \times (u_{n} - 600) \\ = & 1,15 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,15 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,15 et dont le premier terme $v_{0} = 800 - 600 = 200$ .
2. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,15 et de premier terme $v_{0} = 200$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 200 \times {1,15}^{n}$ .
3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 200 \times {1,15}^{n} + 600$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 600 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 600$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 200 \times {1,15}^{n} + 600$ .
À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de 2 000 adhérents ?
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 200 \times {1,15}^{n} + 600 > 2000 & \Leftrightarrow & 200 \times {1,15}^{n} > 1400 \\ \Leftrightarrow & {1,15}^{n} > 7 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,15}^{n}) > \ln 7 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,15 > \ln 7 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 7}{\ln 1,15} \end{array}$
Comme $\frac{\ln 7}{\ln 1,15} \approx 13,9$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 2000$ est $n = 14$ .
C'est à partir de 2030 que cette école accueillera plus de 2 000 adhérents.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.