Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre 1 000 et 5 000 voitures.
Une étude montre que la recette mensuelle totale de l'entreprise est de 70 000 euros lorsqu'elle vend 1 000 voitures.
On note $r (x)$ la recette mensuelle réalisée par l'entreprise, exprimée en dizaine de milliers d'euros, pour la vente de x milliers de voitures.

Donner $r (1)$ .
La recette de l'entreprise est de 70 000 euros lorsqu'elle vend 1 000 voitures d'où $r (1) = 7$ .
On admet que, pour tout $x \in [1; 5]$ , la recette mensuelle est modélisée par : $r (x) = 6 + x + 2 \ln (x)$
1. Montrer que, pour tout $x \in [1; 5]$ , $r' (x) = \frac{x + 2}{x}$ .
  r est dérivable comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 5]$ : $r' (x) = 1 + \frac{2}{x} = \frac{x + 2}{x}$
  La dérivée de la fonction r est la fonction $r'$ définie pour tout réel x de l'intervalle $[1; 5]$ par $r' (x) = \frac{x + 2}{x}$ .
2. Étudier les variations de r sur l'intervalle $[1; 5]$ .
  La fonction r est strictement croissante sur l'intervalle $[1; 5]$ comme somme de fonctions strictement croissantes.
1. Justifier que l'équation $r (x) = 10$ admet une unique solution α dans l'intervalle $[1; 5]$ , puis donner une valeur approchée de α au millième.
  Nous avons $r (1) = 7$ et $r (5) = 11 + 2 \ln (5) \approx 14,2$
  Sur l'intervalle $[1; 5]$ , la fonction r est dérivable donc continue, strictement croissante et $r (1) < 10 < r (5)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $r (x) = 10$ admet une unique solution $α \in [1; 5]$ .
  L'équation $r (x) = 10$ admet une unique solution $α \in [1; 5]$ . À l'aide de la calculatrice, on trouve $α \approx 2,318$ .
2. Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l'entreprise réalise une recette supérieure à 100 000 euros.
  La fonction r est strictement croissante et $r (α) = 10$ donc si $x > α$ alors $r (x) > 10$ .
  Pour réaliser une recette supérieure à 100 000 euros il faut vendre au moins 2 319 voitures télécommandées.
1. Soit g la fonction définie pour tout $x \in [1; 5]$ par $g (x) = 2 \ln (x)$ .
  Montrer que la fonction G définie pour tout $x \in [1; 5]$ par $G (x) = 2 x (\ln (x) - 1)$ est une primitive de la fonction g.
  G est dérivable comme produit de fonctions dérivables : $G = u v$ d'où $G' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[1; 5]$ , ${\begin{array}{lcl} u (x) = 2 x & ; & u' (x) = 2 \\ v (x) = \ln (x) - 1 & ; & v' (x) = \frac{1}{x} \end{array}$
  Soit pour tout réel x de l'intervalle $[1; 5]$ , $\begin{array}{rcl} G' (x) & = & 2 \times (\ln (x) - 1) + 2 x \times \frac{1}{x} \\ = & 2 \ln (x) - 2 + 2 \\ = & 2 \ln (x) \end{array}$
  Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 5]$ , $G' (x) = g (x)$ donc la fonction G est une primitive la fonction g sur l'intervalle $[1; 5]$ .
2. En déduire une primitive R de la fonction r sur l'intervalle $[1; 5]$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 5]$ , $r (x) = 6 + x + g (x)$ par conséquent, une primitive R de la fonction r sur l'intervalle $[1; 5]$ est définie par : $\begin{array}{rcl} R (x) & = & 6 x + \frac{x^{2}}{2} + 2 x (\ln (x) - 1) \\ = & \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 x \ln (x) \end{array}$
  Une primitive de la fonction r est la fonction R définie sur l'intervalle $[1; 5]$ est définie par $R (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 x \ln (x)$ .
3. Donner une valeur approchée à la dizaine d'euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l'entreprise vend entre 2 000 et 4 000 voitures télécommandées.
  La valeur moyenne de la fonction r sur l'intervalle $[2; 4]$ est : $\begin{array}{rcl} m & = & \frac{1}{4 - 2} \times \int_{2}^{4} r (x) d x \\ = & \frac{1}{2} \times [R (4) - R (2)] \\ = & \frac{1}{2} \times [(8 + 16 + 8 \ln (4)) - (2 + 8 + 4 \ln (2))] \\ = & \frac{1}{2} \times (24 + 16 \ln (2) - 10 - 4 \ln (2)) \\ = & 7 + 6 \ln (2) \\ \approx & 11,159 \end{array}$
  Arrondie à la dizaine d'euros, la valeur moyenne de la recette lorsque l'entreprise vend entre 2 000 et 4 000 voitures télécommandées est de 111 590 euros.

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