sujet : Pondichéry 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. La fonction $f\prime$ est :

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ on a $x^2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-5\ln x$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$. Or :$$\begin{array}{ccc}-5\ln x⩽0& \iff & x⩾1\end{array}$$

   D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

   x	0,5		1		5
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   1. positive ou nulle sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ ;

   2. négative ou nulle sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ ;

   3. négative ou nulle sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};1\right]$.

2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 au point B est égal à :

   $$f\prime \left(\mathrm{e}\right)={\displaystyle \frac{-5\ln \mathrm{e}}{{\mathrm{e}}^2}}=-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^2}}$$

   a.   $-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^2}}$

   b.   ${\displaystyle \frac{10}{\mathrm{e}}}$

   c.   ${\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^3}}$

3. La fonction $f\prime$ est :

   Les variations de $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f″$. Or :$$\begin{array}{ccccc}10\ln x-5⩾0& \iff & \ln x⩾\mathrm{0,5}& \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}\end{array}$$

   D'où le tableau des variations de $f\prime$ :

   x	0,5		${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$		5
   $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\prime \left(x\right)$

   1. croissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};1\right]$ ;

   2. décroissante sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ ;

   3. croissante sur l'intervalle $\left[2;5\right]$.

4. La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe 𝒞 est égale à :

   La dérivée $f\prime$ change de variation pour $x={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ donc le point A d'abscisse ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ est un point d'inflexion de la courbe 𝒞.

   a.   1,65

   b.   1,6

   c.   ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$

5. On note 𝒜 l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :

   L'aire du domaine hachuré délimité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$ est encadrée par l'aire du polygone colorié en mauve d'aire égale à 10 unités d'aire et l'aire du rectangle colorié en jaune de dimensions $3\times 5$.

   a.   $20⩽𝒜⩽30$

   b.   $10⩽𝒜⩽15$

   c.   $5⩽𝒜⩽8$

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   remarque

   Il est possible de calculer l'aire 𝒜 pour répondre à cette question.

   • La fonction f est positive par conséquent, l'aire 𝒜, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$ est égale l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   • Déterminons une primitive de la fonction f :

     Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ on pose $u\left(x\right)=1+\ln x$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

     Ainsi, $f=5\times u\times u\prime$. Une primitive de la fonction f est de la forme $F={\displaystyle \frac{5u^2}{2}}$. Soit F est la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{5{\left(1+\ln x\right)}^2}{2}}$.

   • Par conséquent, $$\begin{array}{rcl}𝒜={\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5{\left(1+\ln 4\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{5{\left(1+\ln 1\right)}^2}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5{\left(1+\ln 4\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\approx \mathrm{11,7}\end{array}$$

   Soit $10⩽𝒜⩽15$.

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