sujet : Pondichéry 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,01 près.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par : $$f\left(x\right)=\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{2,4}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,4}$$

partie a

On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée.

1. Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$ on a :$f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{2,16}x+\mathrm{2,16}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}$.

   $f=uv-\mathrm{1,4}$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=\mathrm{3,6}x+\mathrm{2,4}& \text{;}& u\prime \left(x\right)=\mathrm{3,6}\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}\end{array}$

   Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$: $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \mathrm{3,6}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}+\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{2,4}\right)\times \left(-\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}\right)\\ & =& \left(\mathrm{3,6}-\mathrm{0,6}\times \left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{2,4}\right)\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}\\ & =& \left(\mathrm{3,6}-\mathrm{2,16}x-\mathrm{1,44}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}\\ & =& \left(-\mathrm{2,16}x+\mathrm{2,16}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{2,16}x+\mathrm{2,16}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-\mathrm{2,16}x+\mathrm{2,16}\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}-\mathrm{2,16}x+\mathrm{2,16}⩽0& \iff & x⩾1\end{array}$$

      Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	0		1		4
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.
      On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	0		1		4
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	1		$\approx \mathrm{1,89}$		$\approx \mathrm{0,12}$

3. On admet que la fonction F définie par :$$F\left(x\right)=\left(-6x-14\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,4}x$$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ puis en donner une valeur numérique approchée.

   La fonction F définie par $F\left(x\right)=\left(-6x-14\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,4}x$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ d'où :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-38{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4}}-\mathrm{5,6}\right)-\left(-14{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& \mathrm{8,4}-38{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4}}\end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{8,4}-38{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4}}\approx \mathrm{4,95}$.

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partie b

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

   D'après les formules usuelles des primitives :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\left[{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3-2x^2+x\right]}_0^{\mathrm{0,5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{8}}-2\times {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

   Ainsi, ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

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2. On considère le domaine plan délimité par les courbes ${𝒞}_f$, ${𝒞}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation $x=4$.
   Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.
   Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine.

   • La fonction f est positive donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x=4$ et l'axe des abscisses.

   • La fonction g est positive donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe ${𝒞}_g$, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x=\mathrm{0,5}$ et l'axe des abscisses.

   • On en déduit que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par les courbes ${𝒞}_f$, ${𝒞}_g$, la droite d'équation $x=4$ et l'axe des abscisses est égale à ${\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire 𝒜 du domaine colorié est égale au double de l'aire du domaine délimité par les courbes ${𝒞}_f$, ${𝒞}_g$, la droite d'équation $x=4$ et l'axe des abscisses :$$\begin{array}{rcl}𝒜& =& 2\times \left({\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}\right)\\ & =& 2\times \left(\mathrm{8,4}-38{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\right)\\ & \approx & \mathrm{9,57}\end{array}$$

   Arrondie au centième près, l'aire, en unités d'aire, de ce domaine est $𝒜\approx \mathrm{9,57}$.

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