Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux A, B, C, D, E, F, G et H dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son site de travail.
Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l'arête.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.

Pour déterminer le trajet le plus court pour aller du sommet A au sommet G, on utilise l'algorithme de Dijkstra.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
ABCDEFGHSommet sélectionné
 0 

A (0)

 47 (A)56 (A) 23 (A)30 (A)

E (23)

 47 (A)
43 (E)
56 (A) 65( E) 30 (A)63 (E)

F (30)

 43 (E)56 (A) 65( E)  63 (E)
58 (F)

B (43)

  56 (A)
53 (B)
65( E)  58 (F)

C (53)

   65( E)  58 (F)

H(58)

   65( E)  81 (H) 

D (65)

      81 (H)
80 (D)
 

G (80)


Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on remonte la chaîne en suivant les prédécesseurs. GDEA.

Le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail est A - E - D - G, la distance parcourue est de 80 kilomètres.


partie b

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun, soit le covoiturage.

  • s'il a utilisé les transports en commun lors d'un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son prochain déplacement avec une probabilité de 0,53 ;
  • s'il a utilisé le covoiturage lors d'un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de 0,78.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1er janvier 2018.

Pour tout entier naturel n, on note :

  • cn la probabilité que Louis utilise le covoiturage n jour(s) après le 1er janvier 2018 ;
  • tn la probabilité que Louis utilise les transports en commun n jour(s) après le 1er janvier 2018 ;

La matrice ligne Pn=(cntn) traduit l'état probabiliste n jour(s) après le 1er janvier 2018.

Le 1er janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

remarque

Pour la cohérence de l'exercice, on considère que sur une même journée Louis ne change pas de type de tansport pour les différents trajets qu'il effectue pendant la journée.

    1. Préciser l'état probabiliste initial P0.

      Le 1er janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage donc P0=(10).


    2. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. On notera « C » et « T » ses deux sommets :

      • « C » pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
      • « T » pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
      • Si Louis a utilisé les transports en commun lors d'une journée, il utilisera le covoiturage le lendemain avec une probabilité de 0,53 d'où pTn(Cn+1)=0,53 et pTn(Tn+1)=1-0,53=0,47.

      • Si Louis a utilisé le covoiturage lors d'une journée le lendemain, il utilisera le transport en commun avec une probabilité de 0,78 d'où pCn(Tn+1)=0,78 et pCn(Cn+1)=1-0,78=0,22.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique.

    La matrice ligne Pn=(cntn) traduit l'état probabiliste n jour(s) après le 1er janvier 2018 donc :

    la matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M est : M=(0,220,780,530,47).


  2. Calculer l'état probabiliste P2 et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

    P2=P0×M2 soit : P2=(10)×(0,220,780,530,47)2=(0,46180,5382)

    P2=(0,46180,5382). Le 3 janvier, Louis utilisera le covoiturage avec une probabilité proche de 0,46.


  3. Soit la matrice ligne P=(xy) associée à l'état stable du graphe probabiliste.

    1. Calculer les valeurs exactes de x et de y puis en donner une valeur approchée à 0,01 près.

      L'état stable est P=(xy) avec x+y=1 et tel que : (xy)=(xy)×(0,220,780,530,47)(xy)=(0,22x+0,53y0,78x+0,47y)soit{x=0,22x+0,53yy=0,78x+0,47y{0,78x-0,53y=0-0,78x+0,53y=0

      D'où x et y vérifient la relation 0,78x-0,53y=0. Comme d'autre part, x+y=1 on en déduit que x et y sont solutions du système : {0,78x-0,53y=0x+y=1{1,31x=0,53x+y=1{x=53131y=78131

      L'état stable du système est P=(5313178131) soit avec des valeurs approchées à 0,01 près, P(0,40,6).


    2. Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état probabiliste converge vers l'état stable P(0,40,6). C'est à dire qu'à long terme, Louis utilisera le covoiturage dans environ 40 % de ses déplacements.



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