contrôle du 07 avril 2006

Exercice 1

La courbe $\left({𝒞}_f\right)$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ dans le repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.
La courbe $\left({𝒞}_f\right)$ vérifie les propriétés suivantes :

• Les points de coordonnées respectives $\left(-2;0\right)$ et $\left(0;-2\right)$ appartiennent à la courbe tracée ;
• la tangente à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ au point d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses ;
• la tangente à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ au point d'abscisse 0 coupe l'axe des abscisses en $x=2$.

1. Donner les valeurs de $f\left(0\right)$, $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

2. Parmi les quatre représentations graphiques ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée $f\prime$ de f sur $ℝ$.

   Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4

   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$. Vous expliquerez les raisons de votre choix.

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Exercice 2

Dans chaque cas, f est une fonction définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ . Calculer $f\prime \left(x\right)$.

1. $f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$

2. $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-3x}{x^2+1}}$

3. $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$

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Exercice 3

Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+\mathrm{1,5}{x}^2+2x-1$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier les variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1.

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