contrôles en première ES

contrôle du 18 mars 2006

Enseignement de spécialité

thèmes abordés

Intersection de plans.
Systèmes d'équations d'une droite.

Exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ , on considère les points $A (2; 1; 4)$ , $B (2; 4; 2)$ et $C (4; 2; \frac{5}{2})$ .

Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy).
Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
Déterminer les coordonnées du point E intersection de la droite (AB) avec le plan (xOz).
La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (yOz) ?

Exercice 2

L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ représenté sur la figure ci-dessous. On considère les points $A (3; 2; 0)$ , $B (1; 2; 1)$ et $C (- 2; 4; 1)$ .

Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Représenter les intersections du plan (ABC) avec les plans de coordonnées.
Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x; y; z) vérifient le système ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 5 x + 2 z = 10 \end{matrix}$ ? Représenter cet ensemble sur la figure donnée.
On considère le système (S) de trois équations à 3 inconnues x, y, z : ${\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 4 z & = & 12 \\ x + 2 y & = & 4 \\ 5 x + 2 z & = & 10 \end{array}$ .
1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système (S) ?
2. Représenter la résolution graphique du système (S).

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