contrôle du 25 fevrier 2006

Exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A\left(-2;1;0\right)$, $B\left(1;2;1\right)$, $C\left(-3;2;2\right)$ et $D\left(-1;4;5\right)$.

1. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont-ils colinéaires ? orthogonaux ?

2. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

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Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$.
On considère le plan P d'équation $2x+3y+3z=12$.

1. Le plan P coupe l'axe des abscisses en A, l'axe des ordonnées en B et celui des cotes en C.

   1. Déterminer les coordonnées des points A, B et C.

   2. Représenter les intersections du plan P avec les plans de base du repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$.

2. 1. Soit I le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point I.

   2. Les points I, $J\left(0;0;6\right)$ et $K\left(2;1;3\right)$ sont-ils alignés ?

   3. Déterminer une équation cartésienne du plan (IJK).

3. 1. Quelle est la nature de l'ensemble Δ des points M dont les coordonnées $\left(x;y;z\right)$ vérifient le système : $$\{\begin{array}{rcl}2x+3y+3z& =& 12\\ 3y+z& =& 6\end{array}$$

   2. Représenter en rouge l'ensemble Δ dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$.

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