contrôle du 28 avril 2006

Exercice 1

On considère les deux matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -1& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& 0\\ 6& -1\end{array}\right)$
Calculer le produit A⁢B sans calculatrice.

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Exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$ on considère le plan $P_1$ d'équation $5x+10y+4z=20$ ainsi que les points de coordonnées $E\left(-2;3;0\right)$ et $F\left(-2;5;1\right)$.

1. Le plan $P_1$ coupe l'axe des abscisses en A, l'axe des ordonnées en B et celui des cotes en C. Déterminer les coordonnées des points A, B et C.

2. La droite (EF) est perpendiculaire au plan $P_2$ qui passe par E.

   1. Déterminer une équation cartésienne du plan $P_2$.

   2. Représenter les intersections du plan $P_2$ avec les plans de coordonnées.

3. Quelle est la nature de l'ensemble Δ des points $M\left(x;y;z\right)$ dont les coordonnées vérifient le système : $$\{\begin{array}{rcr}5x+10y+4z& =& 20\\ 2y+z& =& 6\end{array}$$

4. 1. Traduire le système $\left(S\right):\{\begin{array}{rrr}5x+10y+4z& =& 20\\ 2y+z& =& 6\\ 2x+2y+3z& =& 12\end{array}$ par une égalité matricielle de la forme $AX=B$.

   2. À l'aide la calculatrice déterminer la matrice $A^{-1}$ et résoudre le système.

   3. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système $\left(S\right)$ ?

   4. Représenter, la résolution graphique du système $\left(S\right)$.

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