contrôle du 20 octobre 2006

Exercice 1

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. On demande de cocher cette réponse.

Le diagramme en boîte ci-dessous résume une série statistique d'effectif total N :

1. La médiane est égale à :

   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(a+e\right)$

   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(b+d\right)$

   c

2. L'écart interquartile est égal à :

   $d-b$

   ${\displaystyle \frac{b+d}{4}}$

   ${\displaystyle \frac{e-a}{4}}$

3. La moyenne est :

   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(a+e\right)$

   ${\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{N}}$

   on ne peut pas savoir.

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Exercice 2

On donne la série statistique suivante :

$x_i$	− 2	0	4	8	13
$n_i$	4	5	5	6	5

1. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles.
   Représenter la répartition des valeurs $x_i$ à l'aide d'un diagramme en boîte.

2. Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart-type s de la série statistique.

3. Soit S la fonction définie sur $ℝ$ par :$$S\left(x\right)=4{\left(x+2\right)}^2+5x^2+5{\left(x-4\right)}^2+6{\left(x-8\right)}^2+5{\left(x-13\right)}^2$$

   1. Vérifier que $S\left(x\right)=25x^2-250x+1325$.

   2. Déterminer le sens de variations de la fonction S et en déduire sa valeur minimale.

   3. Calculer la variance à partir de la somme S. En déduire la valeur exacte de l'écart-type s.

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Exercice 3

On a réalisé une enquête sur le temps d'attente, en secondes, d'un abonné qui contacte par téléphone son fournisseur d'accès internet.
Cette enquête a concerné 200 abonnés et a donné les résultats suivants :

Temps d'attente $x_i$	16	28	50	75	100	125	150	175	225	275	300
Nombre d'abonnés $n_i$	1	3	10	20	60	45	21	15	10	10	5

1. 1. À l'aide de la calculatrice, calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart type s de cette série.

   2. Quel est le pourcentage des temps d'attente qui se trouvent dans l'intervalle $\left[\overline{x}-s;\overline{x}+s\right]$ ?

2. 1. Si une amélioration permettait de réduire de 10 % le temps d'attente pour chaque appel, quelle serait la moyenne de la nouvelle série ?

   2. Si une amélioration permettait de réduire de 10 secondes le temps d'attente pour chaque appel, par rapport à la série initiale, quelle serait la moyenne de la nouvelle série ?

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