contrôles en première ES

contrôle du 24 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 1

Déterminer les réels a, b et c sachant que la courbe d'équation $y = a x^{2} + b x + c$ , passe par les trois points suivants : $M (2; - 3)$ , $N (- 1; 3)$ et $P (1; - 3)$ .

Le point $M (2; - 3)$ est un point de la courbe alors ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe d'où, $\begin{matrix} a \times 2^{2} + b \times 2 + c = - 3 & \Leftrightarrow & 4 a + 2 b + c = - 3 \end{matrix}$
Le point $N (- 1; 3)$ est un point de la courbe alors ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe d'où, $\begin{matrix} a \times {(- 1)}^{2} + b \times (- 1) + c = 3 & \Leftrightarrow & a - b + c = 3 \end{matrix}$
Le point $P (1; - 3)$ est un point de la courbe alors ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe d'où, $\begin{matrix} a \times 1^{2} + b \times 1 + c = - 3 & \Leftrightarrow & a + b + c = - 3 \end{matrix}$

Ainsi, les réels a, b et c sont solutions du système : $\begin{array}{l} {\begin{array}{rcr} 4 a + 2 b + c & = & - 3 \\ a - b + c & = & 3 \\ a + b + c & = & - 3 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 4 a + 2 b + 3 - a + b & = & - 3 \\ c & = & 3 - a + b \\ a + b + 3 - a + b & = & - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 3 a + 3 b & = & - 6 \\ c & = & 3 - a + b \\ 2 b & = & - 6 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 3 a + 3 \times (- 3) & = & - 6 \\ c & = & 3 - a + b \\ b & = & - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 3 a & = & 3 \\ c & = & 3 - a + b \\ b & = & - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} a & = & 1 \\ c & = & - 1 \\ b & = & - 3 \end{array} \end{array}$

L'équation de la courbe est $y = x^{2} - 3 x - 1$ .

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