contrôles en première ES

contrôle du 24 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 2

D'après bac STT CG-IG Nouvelle-Calédonie novembre 2004.

partie A

Sur la feuille annexe, (à rendre avec la copie) dans un repère orthonormal (O;ı,ȷ) on a construit les droites D1 et D2 d'équations respectives :D1:2x+y=24D2:2x+3y=36

  1. Calculer les coordonnées du point I, intersection des droites D1 et D2.

    Ixy est le point d'intersection des droites D1 et D2 alors ses coordonnées sont solutions du système : {2x+y=242x+3y=36{y=24-2x2x+3×24-2x=36{y=24-2x-4x=36-72{y=6x=9

    Le point d'intersection des droites D1 et D2 est I96.


  2. Sur la feuille annexe, mettre en évidence l'ensemble des points Mxy du plan dont les coordonnées vérifient : {x00y92x+y242x+3y36 en coloriant la partie du plan qui convient.

    • L'ensemble des points Mxy du plan dont les coordonnées vérifient x0 sont situés à droite de l'axe des ordonnées.
    • L'ensemble des points Mxy du plan dont les coordonnées vérifient 0y9 sont situés dans la bande comprise entre l'axe des abscisses et la droite D3 d'équation y=9.
    • L'ensemble des points Mxy du plan dont les coordonnées vérifient 2x+y24 sont situés en dessous de la droite D1.
    • L'ensemble des points Mxy du plan dont les coordonnées vérifient 2x+3y36 sont situés en dessous de la droite D2.

    Donc l'ensemble solution du système : {x00y92x+y242x+3y36, est l'ensemble des coordonnées des points Mxy situés : {à droite de l'axe des ordonnéesdans la bande comprise entre l'axe des abscisses et la droite d'équation y=9en dessous de la droite D1en dessous de la droite D2

    Ces points sont ceux situés à l'intérieur du polygone colorié OMNIP, frontières comprises.

    Polygone des contraintes : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie B

Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les autres sont en chêne.

  • En raison de contraintes liées à l'approvisionnement, cet artisan ne peut produire plus de 9 portes en chêne par semaine.
  • La fabrication d'une porte en hêtre dure 4 heures et nécessite 2m2 de bois. Celle d'une porte en chêne dure 2 heures et nécessite 3m2 de bois.
  • L'artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de 36m2 de bois dans son atelier.

Soit x le nombre de portes en hêtre fabriquées et y le nombre de portes en chêne fabriquées par semaine (x et y sont des nombres entiers).

  1. Déterminer, en justifiant les réponses, le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l'artisan.

    • Contrainte liée à l'approvisionnement : « l'artisan ne peut produire plus de 9 portes en chêne par semaine » donc y9 .

    • Contrainte liée au temps : « la fabrication d'une porte en hêtre dure 4 heures, celle d'une porte en chêne dure 2 heures et l'artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine » donc 4x+2y48.

    • Contrainte liée au stock : « la fabrication d'une porte en hêtre nécessite 2m2 de bois, celle d'une porte en chêne nécessite 3m2 de bois et l'artisan ne peut pas entreposer plus de 36m2 de bois dans son atelier » donc 2x+3y36.

    Le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l'artisan est : {y94x+2y482x+3y36x et y sont des entiers.


  2. Utiliser le graphique réalisé dans la partie A pour répondre aux questions suivantes :

    Le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production est : {xyy94x+2y482x+3y36{xyy92x+y242x+3y36

    Ainsi, les solutions de ce système sont représentées par les points à coordonnées entières situés à l'intérieur du polygone colorié OMNIP, frontières comprises, représentant les solutions du système de la partie A.

    1. Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, combien de portes en chêne au maximum peut-il fabriquer ?

      Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, le nombre maximum de portes en chêne est l'ordonnée entière la plus gande d'un point de la droite d'équation x=5 situé dans la zone d'acceptabilité.

      Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, il peut produire au maximum 8 portes en chêne.


    2. Si l'artisan produit 3 portes en chêne, combien de portes en hêtre au maximum peut-il fabriquer ?

      Si l'artisan produit 3 portes en chêne, le nombre maximum de portes en hêtre est l'abscisse entière la plus gande d'un point de la droite d'équation y=3 situé dans la zone d'acceptabilité.

      Si l'artisan produit 3 portes en chêne, il peut produire au maximum 10 portes en hêtre.


    Droites D1 et D2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. L'artisan fait un bénéfice de 30 € sur une porte en hêtre et un bénéfice de 20 € sur une porte en chêne.

    1. On note B le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne. Exprimer B en fonction de x et de y.

      Le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne est :B=30x+20y.


    2. Représenter graphiquement sur la feuille annexe, la droite Δ correspondant à un bénéfice de 180 €.

      Si le bénéfice est de 180 € alors x et y vérifient :30x+20y=1803x+2y=18

      La droite Δ correspondant à un bénéfice de 180 € a pour équation y=-1,5x+9.


      Remarque :

      Les couples xy à coordonnées entières de la droite Δ situés dans la zone d'acceptabilité représentent les productions possibles pour obtenir un bénéfice de 180 €.

      Bénéfice 180 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    3. Déterminer graphiquement le nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie.

      Le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne est B=30x+20y .
      À chaque valeur de B correspond une droite Δb d'équation : y=-1,5x+B20

      Ces droites Δb ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles entre elles et coupent l'axe des ordonnées au point  de coordonnées 0B20.

      Pour obtenir graphiquement un couple de production x0y0 pour lequel le bénéfice est maximal, on cherche la droite parallèle à la droite Δ, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la zone d'acceptabilité et dont l'ordonnée à l'origine est la plus grande.
      Il s'agit de la parallèle à Δ passant par le point I96.

      Bénéfice maximal : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Le bénéfice est maximal avec une production de 9 portes en hêtre et 6 portes en chêne, par semaine.


    4. Quel est, alors, ce bénéfice en euros ?

      Le bénéfice pour une production de 9 portes en hêtre et 6 portes en chêne, par semaine est B=9×30+6×20=390

      Le bénéfice est maximal est de 390 € par semaine.



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