contrôles en première ES

contrôle du 24 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 2

D'après bac STT CG-IG Nouvelle-Calédonie novembre 2004.

partie A

Sur la feuille annexe, (à rendre avec la copie) dans un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ})$ on a construit les droites D₁ et D₂ d'équations respectives : $\begin{array}{l} D_{1} & : & 2 x + y = 24 \\ D_{2} & : & 2 x + 3 y = 36 \end{array}$

Calculer les coordonnées du point I, intersection des droites D₁ et D₂.
$I (x; y)$ est le point d'intersection des droites D₁ et D₂ alors ses coordonnées sont solutions du système : $\begin{array}{l} {\begin{array}{lcr} 2 x + y & = & 24 \\ 2 x + 3 y & = & 36 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} y & = & 24 - 2 x \\ 2 x + 3 \times (24 - 2 x) & = & 36 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} y & = & 24 - 2 x \\ - 4 x & = & 36 - 72 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} y & = & 6 \\ x & = & 9 \end{matrix} \end{array}$
Le point d'intersection des droites D₁ et D₂ est $I (9; 6)$ .
Sur la feuille annexe, mettre en évidence l'ensemble des points $M (x; y)$ du plan dont les coordonnées vérifient : ${\begin{array}{l} x ⩾ 0 \\ 0 ⩽ y ⩽ 9 \\ 2 x + y ⩽ 24 \\ 2 x + 3 y ⩽ 36 \end{array}$ en coloriant la partie du plan qui convient.
- L'ensemble des points $M (x; y)$ du plan dont les coordonnées vérifient $x ⩾ 0$ sont situés à droite de l'axe des ordonnées.
- L'ensemble des points $M (x; y)$ du plan dont les coordonnées vérifient $0 ⩽ y ⩽ 9$ sont situés dans la bande comprise entre l'axe des abscisses et la droite D₃ d'équation $y = 9$ .
- L'ensemble des points $M (x; y)$ du plan dont les coordonnées vérifient $2 x + y ⩽ 24$ sont situés en dessous de la droite D₁.
- L'ensemble des points $M (x; y)$ du plan dont les coordonnées vérifient $2 x + 3 y ⩽ 36$ sont situés en dessous de la droite D₂.
Donc l'ensemble solution du système : ${\begin{array}{l} x ⩾ 0 \\ 0 ⩽ y ⩽ 9 \\ 2 x + y ⩽ 24 \\ 2 x + 3 y ⩽ 36 \end{array}$ , est l'ensemble des coordonnées des points $M (x; y)$ situés : ${\begin{array}{l} à droite de l'axe des ordonnées \\ dans la bande comprise entre l'axe des abscisses et la droite d'équation y = 9 \\ en dessous de la droite D_{1} \\ en dessous de la droite D_{2} \end{array}$
Ces points sont ceux situés à l'intérieur du polygone colorié OMNIP, frontières comprises.

partie B

Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les autres sont en chêne.

En raison de contraintes liées à l'approvisionnement, cet artisan ne peut produire plus de 9 portes en chêne par semaine.
La fabrication d'une porte en hêtre dure 4 heures et nécessite $2 m^{2}$ de bois. Celle d'une porte en chêne dure 2 heures et nécessite $3 m^{2}$ de bois.
L'artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de $36 m^{2}$ de bois dans son atelier.

Soit x le nombre de portes en hêtre fabriquées et y le nombre de portes en chêne fabriquées par semaine (x et y sont des nombres entiers).

Déterminer, en justifiant les réponses, le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l'artisan.
- Contrainte liée à l'approvisionnement : « l'artisan ne peut produire plus de 9 portes en chêne par semaine » donc $y ⩽ 9$ .
- Contrainte liée au temps : « la fabrication d'une porte en hêtre dure 4 heures, celle d'une porte en chêne dure 2 heures et l'artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine » donc $4 x + 2 y ⩽ 48$ .
- Contrainte liée au stock : « la fabrication d'une porte en hêtre nécessite $2 m^{2}$ de bois, celle d'une porte en chêne nécessite $3 m^{2}$ de bois et l'artisan ne peut pas entreposer plus de $36 m^{2}$ de bois dans son atelier » donc $2 x + 3 y ⩽ 36$ .
Le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l'artisan est : ${\begin{array}{l} y ⩽ 9 \\ 4 x + 2 y ⩽ 48 \\ 2 x + 3 y ⩽ 36 \end{array}$ où x et y sont des entiers.
Utiliser le graphique réalisé dans la partie A pour répondre aux questions suivantes :
Le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production est : $\begin{matrix} {\begin{array}{l} x \in ℕ, y \in ℕ \\ y ⩽ 9 \\ 4 x + 2 y ⩽ 48 \\ 2 x + 3 y ⩽ 36 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} x \in ℕ, y \in ℕ \\ y ⩽ 9 \\ 2 x + y ⩽ 24 \\ 2 x + 3 y ⩽ 36 \end{array} \end{matrix}$
Ainsi, les solutions de ce système sont représentées par les points à coordonnées entières situés à l'intérieur du polygone colorié OMNIP, frontières comprises, représentant les solutions du système de la partie A.
1. Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, combien de portes en chêne au maximum peut-il fabriquer ?
  Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, le nombre maximum de portes en chêne est l'ordonnée entière la plus gande d'un point de la droite d'équation $x = 5$ situé dans la zone d'acceptabilité.
  Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, il peut produire au maximum 8 portes en chêne.
2. Si l'artisan produit 3 portes en chêne, combien de portes en hêtre au maximum peut-il fabriquer ?
  Si l'artisan produit 3 portes en chêne, le nombre maximum de portes en hêtre est l'abscisse entière la plus gande d'un point de la droite d'équation $y = 3$ situé dans la zone d'acceptabilité.
  Si l'artisan produit 3 portes en chêne, il peut produire au maximum 10 portes en hêtre.
L'artisan fait un bénéfice de 30 € sur une porte en hêtre et un bénéfice de 20 € sur une porte en chêne.
1. On note B le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne. Exprimer B en fonction de x et de y.
  Le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne est : $B = 30 x + 20 y$ .
2. Représenter graphiquement sur la feuille annexe, la droite Δ correspondant à un bénéfice de 180 €.
  Si le bénéfice est de 180 € alors x et y vérifient : $30 x + 20 y = 180 \Leftrightarrow 3 x + 2 y = 18$
  La droite Δ correspondant à un bénéfice de 180 € a pour équation $y = - 1,5 x + 9$ .
  Remarque :
  Les couples $(x; y)$ à coordonnées entières de la droite Δ situés dans la zone d'acceptabilité représentent les productions possibles pour obtenir un bénéfice de 180 €.
3. Déterminer graphiquement le nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie.
  Le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne est $B = 30 x + 20 y$ .
  À chaque valeur de B correspond une droite $Δ_{b}$ d'équation : $y = - 1,5 x + \frac{B}{20}$
  Ces droites $Δ_{b}$ ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles entre elles et coupent l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; \frac{B}{20})$ .
  Pour obtenir graphiquement un couple de production $(x_{0}; y_{0})$ pour lequel le bénéfice est maximal, on cherche la droite parallèle à la droite Δ, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la zone d'acceptabilité et dont l'ordonnée à l'origine est la plus grande.
  Il s'agit de la parallèle à Δ passant par le point $I (9; 6)$ .
  Le bénéfice est maximal avec une production de 9 portes en hêtre et 6 portes en chêne, par semaine.
4. Quel est, alors, ce bénéfice en euros ?
  Le bénéfice pour une production de 9 portes en hêtre et 6 portes en chêne, par semaine est $B = 9 \times 30 + 6 \times 20 = 390$
  Le bénéfice est maximal est de 390 € par semaine.

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