contrôle du 24 novembre 2006

Exercice 1

Déterminer les réels a, b et c sachant que la courbe d'équation $y=a{x}^2+bx+c$, passe par les trois points suivants : $M\left(2;-3\right)$, $N\left(-1;3\right)$ et $P\left(1;-3\right)$.

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Exercice 2

D'après bac STT CG-IG Nouvelle-Calédonie novembre 2004.

partie A

Sur la feuille annexe, (à rendre avec la copie) dans un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ on a construit les droites D₁ et D₂ d'équations respectives :$$\begin{array}{lll}{D}_1& \text{:}& 2x+y=24\\ D_2& \text{:}& 2x+3y=36\end{array}$$

1. Calculer les coordonnées du point I, intersection des droites D₁ et D₂.

2. Sur la feuille annexe, mettre en évidence l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient :$\{\begin{array}{l}x⩾0\\ 0⩽y⩽9\\ 2x+y⩽24\\ 2x+3y⩽36\end{array}$ en coloriant la partie du plan qui convient.

Annexe

partie B

Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les autres sont en chêne.

• En raison de contraintes liées à l'approvisionnement, cet artisan ne peut produire plus de 9 portes en chêne par semaine.
• La fabrication d'une porte en hêtre dure 4 heures et nécessite $2{\mathrm{m}}^2$ de bois. Celle d'une porte en chêne dure 2 heures et nécessite $3{\mathrm{m}}^2$ de bois.
• L'artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de $36{\mathrm{m}}^2$ de bois dans son atelier.

Soit x le nombre de portes en hêtre fabriquées et y le nombre de portes en chêne fabriquées par semaine (x et y sont des nombres entiers).

1. Déterminer, en justifiant les réponses, le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l'artisan.

2. Utiliser le graphique réalisé dans la partie A pour répondre aux questions suivantes :

   1. Si l'artisan produit 5 portes en hêtre, combien de portes en chêne au maximum peut-il fabriquer ?

   2. Si l'artisan produit 3 portes en chêne, combien de portes en hêtre au maximum peut-il fabriquer ?

3. L'artisan fait un bénéfice de 30 € sur une porte en hêtre et un bénéfice de 20 € sur une porte en chêne.

   1. On note B le bénéfice total réalisé sur la vente de x portes en hêtre et de y portes en chêne. Exprimer B en fonction de x et de y.

   2. Représenter graphiquement sur la feuille annexe, la droite Δ correspondant à un bénéfice de 180 €.

   3. Déterminer graphiquement le nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie.

   4. Quel est, alors, ce bénéfice en euros ?

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