contrôle du 27 avril 2007

exercice 1

La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ dans un repère du plan. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

La courbe $C_f$ vérifie les propriétés suivantes :

• Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d'abscisse $-3$ et 1 sont parallèles à l'axe des abscisses ;
• la tangente à la courbe $C_f$ au point de coordonnées $\left(3;\mathrm{2,1}\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(4;\mathrm{4,5}\right)$.

1. Donner les valeurs de $f\prime \left(-3\right)$, $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(3\right)$.

2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée $f\prime$ de f sur $ℝ$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$. Vous expliquerez les raisons de votre choix.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

3. Recopier et compléter la phrase suivante à l'aide d'une des cinq propositions « Si f  est une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle I alors,  pour tout réel x de I , …

   a. $f\prime \left(x\right)⩽0$

   b. $f\prime \left(x\right)<0$

   c. $f\prime \left(x\right)=0$

   d. $f\prime \left(x\right)>0$

   e. $f\prime \left(x\right)⩾0$

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exercice 2

Dans chaque cas, f est une fonction définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ . Calculer $f\prime \left(x\right)$.

1. $f\left(x\right)=x^3+2\sqrt{x}+5$

2. $f\left(x\right)=\left(1-x^2\right)\left(2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$

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exercice 3

1. Étudier le signe du polynôme $P\left(x\right)=-4x^2+6x+4$.

2. Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x-3}{x^2+1}}$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée. Sa courbe représentative ${𝒞}_f$dans un repère du plan est donnée ci-dessous.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

   3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse − 3. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous.

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