contrôle du 17 mai 2007

exercice 1

Soit une fonction f définie sur $ℝ$ et dérivable sur $ℝ$.

La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points $A\left(-3;1\right)$ et $B\left(-1;3\right)$ . Les droites (D) et (D') sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B et sont sécantes au point d'abscisse $-2$.

1. Déterminer graphiquement $f\prime \left(-3\right)$ et $f\prime \left(-1\right)$.

2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée $f\prime$ de f sur $ℝ$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$. Vous expliquerez les raisons de votre choix.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

3. Soit g la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]-\mathrm{3,1};+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$.

   1. Donner les variations de la fonction g.

   2. Calculer $g\prime \left(-3\right)$.

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exercice 2

Le jour de l'ouverture d'un centre commercial, on distribue 1 000 billets de loterie. Parmi les 1 000 billets distribués, 2 donnent droit à un bon d'achat de 50 €, 10  donnent droit à un bon d'achat de 30 €, 20  donnent droit à un bon d'achat de 15 € , 50  donnent droit à un bon d'achat de 10 € et les autres billets ne gagnent rien.

1. Quelle est la probabilité pour une personne qui a reçu un billet de gagner un bon d'achat de 15 € ?

2. Quelle est la probabilité pour une personne qui a reçu un billet de ne rien gagner ?

3. On s'intéresse aux montants en euros des gains.

   1. Quels sont les différents gains possibles ?

   2. Déterminer la loi de probabilité de ces gains.

   3. Quelle est la probabilité pour une personne qui a reçu un billet de gagner au moins 30 € ?

   4. Quelle est la probabilité pour une personne qui a reçu un billet de gagner au plus 15 € ?

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exercice 3

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut.
On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut A, 37 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux défauts.

On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. On note :

A l'évènement : « La pièce a le défaut A » ;

B l'évènement : « La pièce a le défaut B » ;

1. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

2. Traduire par une phrase l'évènement $A\cap \overline{B}$. Calculer la probabilité de l'évènement $A\cap \overline{B}$ ?

3. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce qui a seulement le défaut B ?

4. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse qui n'a qu'un seul défaut ?

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exercice 4

Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(x^2-2x-11\right)$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée. Sa courbe représentative ${𝒞}_f$ dans un repère orthogonal du plan est donnée ci-dessous.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier les variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous.

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