contrôles en première ES spécialité

contrôle du 07 juin 2007

Corrigé de l'exercice 2

Soit $M (x; y)$ un point du plan, de coordonnées cartésiennes x et y. On appelle matrice des coordonnées homogènes du point M la matrice $M = (\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix})$ .

Par exemple, la matrice des coordonnées homogènes du point $A (- 5; 2)$ est $A = (\begin{matrix} - 5 & 2 & 1 \end{matrix})$ .
Réciproquement, le point B dont la matrice des coordonnées homogènes est $B = (\begin{matrix} - 3 & - 2 & 1 \end{matrix})$ a pour coordonnées cartésiennes $B (- 3; - 2)$ .

Donner les matrices des coordonnées homogènes des points $C (5; 2)$ et $D (3; 6)$ .
La matrice des coordonnées homogènes du point $C (5; 2)$ est $C = (\begin{matrix} 5 & 2 & 1 \end{matrix})$ .
La matrice des coordonnées homogènes du point $D (3; 6)$ est $D = (\begin{matrix} 3 & 6 & 1 \end{matrix})$ .
On considère la matrice $T = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix})$ . On définit une transformation t de la manière suivante :
À tout point $M (x; y)$ du plan on associe le point $M' (x'; y')$ tel que $(\begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}) \times T$ où $(\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix})$ sont les matrices des coordonnées homogènes des points M et M'.
1. Calculer les coordonnées cartésiennes des points A', B', C' et D' images respectives des points A, B, C et D par la transformation t.
  - La matrice des coordonnées homogènes du point $A (- 5; 2)$ est $A = (\begin{matrix} - 5 & 2 & 1 \end{matrix})$ . Notons $A' = (\begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix})$ la matrice des coordonnées homogènes du point $A' (x'; y')$ . Alors, $\begin{array}{l} (\begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} - 5 & 2 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} - 2 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{array}$
    Donc les coordonnées cartésiennes de A' sont $A' (- 2; 0)$ .
  - La matrice des coordonnées homogènes du point $B (- 3; - 2)$ est $B = (\begin{matrix} - 3 & - 2 & 1 \end{matrix})$ . Notons $B' = (\begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix})$ la matrice des coordonnées homogènes du point $B' (x'; y')$ . Alors, $\begin{array}{l} (\begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} - 3 & - 2 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0 & - 4 & 1 \end{matrix}) \end{array}$
    Donc les coordonnées cartésiennes de B' sont $B' (0; - 4)$ .
  - De même $\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 & 2 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 & 0 & 1 \end{matrix}) & et & (\begin{matrix} 3 & 6 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & 4 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
    Donc les coordonnées cartésiennes des points C' et D' sont $C' (8; 0)$ et $D' (6; 4)$ .
2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, placer les points A, B, C, D et A', B', C', D'. Quelle semble être la transformation t ?
  Il semble que t est une translation de vecteur $\vec{u} (3; - 2)$ .
3. Soit $N (a; b)$ un point du plan, N' l'image du point N par la transformation t. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{N N'}$ . En déduire la nature de la transformation t.
  La matrice des coordonnées homogènes du point $N (a; b)$ est $N = (\begin{matrix} a & b & 1 \end{matrix})$ . Notons $N' = (\begin{matrix} a' & b' & 1 \end{matrix})$ la matrice des coordonnées homogènes du point $N' (a'; b')$ . Alors, $\begin{array}{l} (\begin{matrix} a' & b' & 1 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a & b & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} a + 3 & b - 2 & 1 \end{matrix}) \end{array}$
  Donc les coordonnées cartésiennes du point N' sont $N' (a + 3; b - 2)$ . D'où $\vec{N N'} = (3; - 2)$ .
  Ainsi, l'image d'un point N du plan est le point N' tel que $\vec{N N'} = (3; - 2)$ .
  t est la translation de vecteur $\vec{u} (3; - 2)$ .

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