contrôle du 07 juin 2007

Corrigé de l'exercice 3

1. Exprimer $v_1$, $c_1$ et $a_1$ en fonction de $v_0$, $c_0$ et $a_0$. En déduire la matrice M telle que $p_1=M\times p_0$.

   D'un mois sur l'autre,

   • 60% des personnes qui utilisent leur voiture continuent à l'utiliser, 20% des personnes qui utilisent les transports en commun changent pour utiliser leur voiture et 20% des personnes qui utilisent un autre moyen de transport optent pour la voiture. D'où : $$v_1=\mathrm{0,6}{v}_0+\mathrm{0,2}{c}_0+\mathrm{0,2}{a}_0$$

   • 30% des personnes qui utilisent leur voiture changent pour utiliser les transports en commun, 70% des personnes qui utilisent les transports en commun conservent ce mode de transport et 40% des personnes qui utilisent un autre moyen de transport optent pour les transports en commun. D'où : $$c_1=\mathrm{0,3}{v}_0+\mathrm{0,7}{c}_0+\mathrm{0,4}{a}_0$$

   • 10% des personnes qui utilisent leur voiture changent pour utiliser un autre moyen de transport, 10% des personnes qui utilisent les transports en commun changent pour utiliser un autre moyen de transport et 40% des personnes qui utilisent un autre moyen de transport conservent ce moyen de transport. D'où : $$a_1=\mathrm{0,1}{v}_0+\mathrm{0,1}{c}_0+\mathrm{0,4}{a}_0$$

   Ainsi, $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ c_1\\ a_1\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{v}_0\\ c_0\\ a_0\end{array}\right)\end{array}$$

   Donc $p_1=M\times p_0$ avec $M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

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2. Exprimer à l'aide de M, la matrice N telle que $p_3=N\times p_0$. Donner le nombre de personnes qui utilisent respectivement, la voiture, les transports en commun ou un autre moyen de transport le 1^er avril 2007.

   Les résultats de cette étude étant valables pour les deux années suivantes, nous avons : $$\begin{array}{cccccc}& p_2=M\times p_1& \iff & p_2=M\times \left(M\times p_0\right)& \iff & p_2=M^2\times p_0\\ \text{et}& p_3=M\times p_2& \iff & p_3=M\times \left(M^2\times p_0\right)& \iff & p_3=M^3\times p_0\end{array}$$

   Ainsi, $p_3=N\times p_0$ avec $N=M^3$.

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   $$\begin{array}{lll}{p}_3=M^3\times p_0& \iff & \left(\begin{array}{c}{v}_3\\ c_3\\ a_3\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)}^3\times \left(\begin{array}{c}{v}_0\\ c_0\\ a_0\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{c}{v}_3\\ c_3\\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,376}& \mathrm{0,312}& \mathrm{0,312}\\ \mathrm{0,485}& \mathrm{0,549}& \mathrm{0,522}\\ \mathrm{0,139}& \mathrm{0,139}& \mathrm{0,166}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{50\; 000}\\ \mathrm{40\; 000}\\ \mathrm{10\; 000}\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{c}{v}_3\\ c_3\\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{34\; 400}\\ \mathrm{51\; 430}\\ \mathrm{14\; 170}\end{array}\right)\end{array}$$

   Le 1^er avril 2007, 34 400 personnes utilisent leur voiture, 51 430 personnes utilisent les transports en commun et 14 170 personnes utilisent un autre moyen de locomotion pour leurs déplacements .

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3. En admettant que $p_n=M^n\times p_0$ , donner une estimation du nombre de personnes, arrondi à la centaine près, qui utiliseront respectivement, la voiture, les transports en commun ou un autre moyen de transport deux ans après le 1^er janvier 2007.

   $$\begin{array}{lll}{p}_{24}=M^{24}\times p_0& \iff & \left(\begin{array}{c}{v}_3\\ c_3\\ a_3\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)}^{24}\times \left(\begin{array}{c}{v}_0\\ c_0\\ a_0\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{c}{v}_3\\ c_3\\ a_3\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)}^{24}\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{50\; 000}\\ \mathrm{40\; 000}\\ \mathrm{10\; 000}\end{array}\right)\\ & \text{Soit}& \left(\begin{array}{c}{v}_3\\ c_3\\ a_3\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{33\; 333}\\ \mathrm{52\; 381}\\ \mathrm{14\; 286}\end{array}\right)\end{array}$$

   Au bout de deux ans, on estime que 33 300 personnes utiliseront leur voiture, 52 400 personnes utiliseront les transports en commun et 14 300 personnes utiliseront un autre moyen de locomotion pour leurs déplacements .

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