contrôles en première ES

contrôle du 14 janvier 2010

Corrigé de l'exercice

L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ orthonormal représenté en annexe ci-dessous.

Tracer les droites d'intersection du plan (P) d'équation $5 x + 5 y + 6 z = 15$ avec les plans de coordonnées du repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ .

Soient $A (3; 0; 0)$ , $B (0; 3; 0)$ et $C (0; 0; \frac{5}{2})$ les points d'intersection du plan (P) avec les axes du repère. Les droites d'intersection du plan (P) avec les plans de coordonnées du repère sont les droites (AB), (BC) et (AC).
On considère le plan (Q) d'équation $3 x + 4 y = 6$ .
1. Préciser la nature de l'ensemble Δ des points $M (x; y; z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient : ${\begin{array}{rcl} 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array}$
  Le plan (Q) d'équation $3 x + 4 y = 6$ est parallèle à l'axe (Oz) et le plan (P) coupe l'axe (Oz) au point $C (0; 0; \frac{5}{2})$ donc les plans (P) et (Q) ne sont pas parallèles.
  
  L'ensemble Δ des points M de l'espace dont les coordonnées vérifient ${\begin{array}{rcl} 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array}$ est l'intersection des plans (P) et (Q). Or deux plans sont sécants en une droite.
  Ainsi, Δ est la droite caractérisée par le système d'équations ${\begin{array}{rcl} 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array}$ .
2. Représenter l'ensemble Δ dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ .
  Le plan (Q) d'équation $3 x + 4 y = 6$ est parallèle à l'axe (Oz). Soient $M (2; 0; 0)$ et $N (0; \frac{3}{2}; 0)$ les points d'intersection du plan (Q) avec les axes (Ox) et (Oy) du repère.
  - Dans le plan (xOz) la parallèle à l'axe (Oz) passant par le point M coupe la droite (AC) en un point $m_{1}$ appartenant à l'intersection des deux plans (P) et (Q).
  - Dans le plan (yOz) la parallèle à l'axe (Oz) passant par le point N coupe la droite (BC) en un point $m_{2}$ appartenant à l'intersection des deux plans (P) et (Q).
  La droite Δ est la droite $(m_{1} m_{2})$ .
On donne les points $D (1; 0; 0)$ , $E (0; - 3; 0)$ et $F (- 1; - 3; 4)$ .
1. Montrer que les points D, E et F déterminent un plan.
  
  Les vecteurs $\vec{D E} (- 1; - 3; 0)$ et $\vec{D F} (- 2; - 3; 4)$ n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles ; donc les vecteurs $\vec{D E}$ et $\vec{D F}$ ne sont pas colinéaires par conséquent, les points D, E et F ne sont pas alignés.
  Les points D, E et F ne sont pas alignés, ils déterminent un plan (R).
2. Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E et F.
  
  Les points D, E et F déterminent le plan (R) d'équation $a x + b y + c z = d$ . Leurs coordonnées vérifient l'équation du plan.
  $D (1; 0; 0) \in (R) \Leftrightarrow a = d$ ; $E (0; - 3; 0) \in (R) \Leftrightarrow - 3 b = d$ et $F (- 1; - 3; 4) \in (R) \Leftrightarrow - a - 3 b + 4 c = d$
  Soit a, b et c sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} a & = & d \\ - 3 b & = & d \\ - a - 3 b + 4 c & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a & = & d \\ b & = & - \frac{d}{3} \\ c & = & \frac{d}{4} \end{array} \end{matrix}$
  Une équation du plan (R) est donc $d x - \frac{d}{3} y + \frac{d}{4} z = d$ . En choisissant $d = 12$ on obtient $a = 12$ , $b = - 4$ et $c = 3$
  Ainsi, une équation du plan (R) est $12 x - 4 y + 3 z = 12$ .
3. Représenter l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ}, \vec{k})$
  
  Les points d'intersection du plan (R) avec les axes du repère sont $D (1; 0; 0)$ , $E (0; - 3; 0)$ et $G (0; 0; 4)$
  - Dans le plan (xOy) la droite (DE) coupe la droite (AB) en un point $n_{1}$ appartenant à l'intersection des deux plans (P) et (R).
  - Dans le plan (xOz) la droite (DG) coupe la droite (AC) en un point $n_{2}$ appartenant à l'intersection des deux plans (P) et (R).
  La droite $(n_{1} n_{2})$ est la droite d'intersection des deux plans (P) et (R).
Les droites Δ et $(n_{1} n_{2})$ sont dans le même plan (P) elles sont sécantes en un point S intersection des trois plans (P), (Q) et (R).
Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique. ${\begin{array}{rcl} 12 x - 4 y + 3 z & = & 12 \\ 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array}$
Résolution du système par combinaisons linéaires successives : $\begin{array}{l} {\begin{array}{r} 12 x - 4 y + 3 z & = & 12 \\ 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 12 x - 4 y + 3 z & = & 12 \\ 19 x - 13 y & = & 9 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array} & On élimine z dans L_{2} en utilisant L_{1} : L_{2} \leftarrow 2 \times L_{1} - L_{2} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 12 x - 4 y + 3 z & = & 12 \\ 115 x & = & 114 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array} & On élimine y dans L_{2} en utilisant L_{3} : L_{2} \leftarrow 4 \times L_{1} + 13 \times L_{3} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 12 x - 4 y + 3 z & = & 12 \\ 3 \times \frac{114}{115} + 4 y & = & 6 \\ x & = & \frac{114}{115} \end{array} & \Leftrightarrow {\begin{array}{r} 12 \times \frac{114}{115} - 4 \times \frac{87}{115} + 3 z & = & 12 \\ y & = & \frac{87}{115} \\ x & = & \frac{114}{115} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} z & = & \frac{24}{23} \\ y & = & \frac{87}{115} \\ x & = & \frac{114}{115} \end{array} \end{array}$ Le système admet pour solution le triplet $(\frac{114}{115}; \frac{87}{115}; \frac{24}{23})$ .
Les trois plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point S de coordonnées $S (\frac{114}{115}; \frac{87}{115}; \frac{24}{23})$ .

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