contrôle du 20 mai 2010

Exercice 1

Dans le cadre de la restructuration de son entreprise, le directeur souhaite qu'à long terme plus de 85 % de ses employés ne travaillent que le matin.
Pour cela, il décide que désormais :

• 20 % des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'après-midi la semaine suivante.
• 10 % des employés travaillant l'après-midi une semaine donnée travaillent aussi l'après-midi la semaine suivante.

La semaine de la décision est notée 0, on note $P_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$ la matrice où :

• $a_n$ est le pourcentage des salariés qui travaillent le matin la n-ième semaine après la prise de décision.
• $b_n$ est le pourcentage des salariés qui travaillent l'après-midi la n-ième semaine après la prise de décision.

partie a

1. La semaine de la décision, 60 % des employés travaillent le matin. Ainsi, $P_0=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.
   Calculer la matrice $P_1$ décrivant la répartition du travail une semaine après la prise de décision.

2. On note M la matrice carrée telle que, pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=M\times P_n$.

   1. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

   2. En déduire la matrice M telle que $P_{n+1}=M\times P_n$.

3. Calculer $P_3$. Interpréter le résultat obtenu.

partie b

On admet, qu'à long terme, la répartition des salariés entre ceux qui travaillent le matin et ceux qui travaillent l'après-midi se stabilise.
Soit $P=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ la matrice associée à l'état stable on a alors $P=M\times P$ avec $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,9}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)$et $a+b=1$.

1. Montrer que a et b vérifient l'égalité $\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,9}b=0$.

2. Déterminer a et b.

3. Le souhait du directeur de cette entreprise est-il réalisable ? Justifier la réponse.

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Exercice 2

1. 1. Traduire le système $\left(S\right)\{\begin{array}{rrr}4x+4y+3z& =& 24\\ 5x+4y& =& 20\\ 3y+4z& =& 24\end{array}$ par une égalité matricielle de la forme $AX=B$.

   2. À l'aide la calculatrice déterminer la matrice $A^{-1}$ et résoudre le système.

2. Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

   1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système $\left(S\right)$

   2. Représenter, la résolution graphique du système $\left(S\right)$

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