contrôle du 20 novembre 2009

exercice 1

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur $ℝ$.

On considère la fonction f définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}$

1. Pour quelles valeurs du réel x la fonction f n'est pas définie ?

2. Établir le tableau des variations de la fonction f . Préciser l'extremum de la fonction f.

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exercice 2

Soit u une fonction définie sur $ℝ$ dont le tableau des variations est le suivant :

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x	$-\infty$		1		3		$+\infty$
$u\left(x\right)$	0		$-2$		2		0

Parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui représente la fonction $f:x\mapsto u\left(x+2\right)$ ?

Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+3x+2}{x-1}}$.

1. Déterminer les réels a, b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}$.

2. On admet que la fonction u définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x-1}}$ est décroissante, en déduire les variations de la fonction f.

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exercice 4

Une entreprise fabrique une quantité x, comprise entre 0 et 1400, d'un certain article.
Le coût total de production f , exprimé en euros, est représenté par la courbe C dans un repère d'origine O du graphique ci-dessous.

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1. 1. Quel est le coût total de production de 500 articles ?

   2. Quelle quantité maximale d'articles est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 20 000 €?

2. Chaque article est vendu au prix de 17 € La recette occasionnée par la vente de x articles est notée $R\left(x\right)$.

   1. Exprimer $R\left(x\right)$ en fonction x et représenter la fonction R sur le graphique précédent.

   2. Déterminer graphiquement les quantités d'articles que l'on peut produire pour que le profit soit positif ou nul.

3. Le coût moyen g est donné sur l'intervalle $\left[0;1400\right]$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}$

   1. Sur le graphique, placer le point M d'abscisse 1000 situé sur la courbe C, puis tracer la droite (OM).
      Que représente le coefficient directeur de la droite (OM) ?

   2. Estimer $g\left(1000\right)$.

   3. Pour quelle quantité, le coût moyen est-il minimal ?

4. Du fait de la concurrence, l'entreprise doit baisser son prix de vente.

   1. Quel est le prix de vente minimal de chaque article, si cette entreprise ne veut pas travailler à perte ?

   2. À quel taux de remise par rapport au prix de vente initial correspondrait ce nouveau prix de vente ?

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