contrôle du 24 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Quel coefficient multiplicateur correspond à une baisse de 8 % ? même question pour une hausse de 3,5 %.

   Le coefficient multiplicateur associé à un pourcentage d'évolution de t % est égal à $$1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$$

   Par conséquent

   • Le coefficient multiplicateur qui correspond à une baisse de 8 % est égal à $1-{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{0,92}$.

   • Le coefficient multiplicateur qui correspond à une une hausse de 3,5 % est égal à $1+{\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}}{100}}=\mathrm{1,035}$

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2. À quel pourcentage d'évolution correspond un coefficient multiplicateur de 2,06 ? de 1,12 ? de 0,89 ?

   $$\begin{array}{lcl}1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{2,06}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,06}& \text{Soit}& t=106\\ 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,12}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,12}& \text{Soit}& t=12\\ 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,89}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=-\mathrm{0,11}& \text{Soit}& t=-11\end{array}$$

   Le coefficient multiplicateur 2,06 correspond à une hausse de 106 %. Le coefficient multiplicateur 1,12 correspond à une hausse de 12 %. Le coefficient multiplicateur 0,89 correspond à une baisse de 11 %

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3. Le prix d'un article augmente de 10 % puis diminue de 10 %. Quel est le pourcentage d'évolution du prix de cet article ?

   Un article dont le prix augmente de 10 % puis diminue de 10 % a son prix multiplié successivement par 1,1 et 0,9.

   Soit $V_0$ la valeur initiale de l'article, la valeur $V_1$ de cet article après les deux évolutions successives est : $$\begin{array}{ccc}{V}_1=\left(V_0\times \mathrm{1,1}\right)\times \mathrm{0,9}& \iff & V_1=V_0\times \mathrm{0,99}\end{array}$$

   Le coefficient multiplicateur associé pourcentage d'évolution est égal à 0,99. Ce qui correspond à une baisse de 1 %.

   Donc le prix de l'article a finalement baissé de 1 %.

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4. Après une réduction de 15 %, un article valait 208,93 €. Quel était son prix initial ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une réduction de 15 % est :$$1-{\displaystyle \frac{15}{100}}=\mathrm{0,85}$$

   Diminuer un prix de 15 % revient à multiplier ce prix par 0,85.

   Soit x le montant en euros, du prix initial. Alors x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,85}x=\mathrm{208,93}& \iff & x={\displaystyle \frac{\mathrm{208,93}}{\mathrm{0,85}}}=\mathrm{245,8}\end{array}$$

   Avant la remise, le prix de l'article était de 245,80€.

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5. Le cours d'une action a baissé de 8,6 %. Quel devra être le taux d'augmentation pour retrouver le cours initial ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 8,6 % est :$$1-{\displaystyle \frac{\mathrm{8,6}}{100}}=\mathrm{0,914}$$

   Notons $V_0$ le cours initial de l'action et x le coefficient multiplicateur associé au taux d'augmentation pour retrouver le cours initial, alors $\left(V_0\times \mathrm{0,914}\right)\times x=V_0$. Soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,914}x=1& \iff & x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,914}}}\approx \mathrm{1,0941}\end{array}$$

   Le cours de cette action devra augmenter d'environ 9,41 % pour revenir à son cours initial.

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