contrôles en première ES

contrôle du 28 janvier 2011

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=3x2+x-83. On note Cf sa courbe représentative.

  1. Donner le tableau des variations de la fonction f .

    f est une fonction polynôme du second degré avec a=3, b=1 et c=-83.
    Le minimum de la fonction f est atteint pour x=-b2a, soit x=-16 . Or f(-16)=3×(-16)2-16-83=-114 Le tableau des variations de la fonction f est donc :

    x- -16 +
    f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -114

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  2. Soit D la droite d'équation y=-32x+13. étudier les positions relatives de la courbe Cf et de la droite D.

    Les positions relatives de la courbe Cf et de la droite D se déduisent du signe de 3x2+x-83-(-32x+13)=3x2+x-83+32x-13=3x2+52x-3

    Étudions le signe du polynôme du second degré 3x2+52x-3 avec a=3, b=52 et c=-3. Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=254+36=1694

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-52-1326=-32etx2=-b+Δ2aSoitx2=-52+1326=23

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de 3x2+52x-3 suivant les valeurs du réel x :

    x- -32 23 +
    Signe de 3x2+52x-3 +0||0||+ 

    • La droite D coupe la parabole Cf aux points d'abscisse -32 et 23.
    • Sur les intervalles ]-;-32] ou [23;+[ la parabole Cf est au dessus de la droite D.
    • Sur l'intervalle [-32;23] la parabole Cf est au dessous de la droite D.


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