contrôle du 28 janvier 2011

Corrigé de l'exercice 2

Le tableau ci-dessous, répertorie les 25 plus grandes entreprises mondiales (en termes de chiffre d'affaires) selon le classement 2010 Fortune Global 500. Le montant du chiffre d'affaires est en milliards de dollar américain.

RANG	ENTREPRISE	RÉGION	CHIFFRE D'AFFAIRES $$x_i$$	ACTIVITÉ
1	Wal-Mart Stores	États-Unis	408,2	Commerce de détail
2	Royal Dutch Shell	Europe	285,1	Pétrole
3	Exxon Mobil	États-Unis	284,7	Pétrole
4	BP	Europe	246,1	Pétrole
5	Toyota Motor	Asie	204,1	Automobile
6	Japan Post Holdings	Asie	202,2	Services
7	Sinopec	Asie	187,5	Pétrole
8	State Grid	Asie	184,5	Electricité
9	General Electric	Europe	175,3	Assurances
10	China National Petroleum	Asie	165,5	Pétrole
11	Chevron	États-Unis	163,5	Pétrole
12	ING Group	Europe	163,2	Services financiers
13	General Electric	États-Unis	156,8	Société mixte
14	Total	Europe	155,9	Pétrole
15	Bank of America Corp.	États-Unis	150,5	Banque
16	Volkswagen	Europe	146,2	Automobile
17	ConocoPhillips	États-Unis	139,5	Pétrole
18	BNP Paribas	Europe	130,7	Banque
19	Assicurazioni Generali	Europe	126,0	Assurances
20	Allianz	Europe	125,9	Assurances
21	AT&T	États-Unis	123,0	Télécommunications
22	Carrefour	Europe	121,5	Commerce de détail
23	Ford Motor	États-Unis	118,3	Automobile
24	ENI	Europe	117,2	Pétrole
25	J.P. Morgan Chase & Co.	États-Unis	115,6	Banque

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1. On considère la série statistique constituée du chiffre d'affaires des 25 plus grandes entreprises :

   1. Déterminer le chiffre d'affaires médian ainsi que les premier et troisième quartiles.

      La série comporte 25 valeurs donc le chiffre d'affaires médian $M_e$ est égal au chiffre d'affaires de l'entreprise qui occupe le rang 13.

      La série est rangée selon l'ordre décroissant :
      ${\displaystyle \frac{25}{4}}=\mathrm{6,25}$, le premier quartile $Q_1$ est égal à la septième plus petite valeur de la série statistique. C'est à dire au chiffre d'affaires de l'entreprise qui occupe le rang 19.
      $25\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{18,75}$, le troisième quartile $Q_3$ est égal égal à la dix-neuvième plus petite valeur de la série statistique. C'est à dire au chiffre d'affaires de l'entreprise qui occupe le rang 7.

      Ainsi, exprimés en milliards de dollars $M_e=\mathrm{156,8}$, $Q_1=126$ et $Q_3=\mathrm{187,5}$

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   2. Calculer le chiffre d'affaires moyen, la variance et l'écart-type. (Résultats arrondis au dixième près)

      • Le chiffre d'affaires moyen obtenu à la calculatrice est $\overline{x}=\mathrm{175,88}$

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      • Pour calculer la variance $V\left(x\right)$ on utilise la formule $$V\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{25}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{25}{x_i}^2}-{\overline{x}}^2$$

        On trouve à l'aide de la calculatrice, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{25}{x_i}^2}=\mathrm{884924,16}$ d'où $$V\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{884924,16}}{25}}-{\mathrm{175,88}}^2=\mathrm{4463,192}$$

        La variance de la série statistique est $V\left(x\right)=\mathrm{4463,192}$

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      • L'écart-type ${\sigma }_x$ est égal à la racine carrée de la variance d'où $${\sigma }_x=\sqrt{\mathrm{4463,192}}\approx \mathrm{66,8}$$

        L'écart-type de la série statistique est ${\sigma }_x\approx \mathrm{66,8}$

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   3. Quel pourcentage d'entreprises ont un chiffre d'affaires inférieur au chiffre d'affaires moyen ?

      17 entreprises sur 25 ont un chiffre d'affaires inférieur au chiffre d'affaires moyen et $${\displaystyle \frac{17}{25}}\mathrm{=}\mathrm{0,68}$$

      68% des 25 entreprises ont un chiffre d'affaires inférieur au chiffre d'affaires moyen.

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2. On choisi au hasard une des 25 plus grandes entreprises et on note :

   • E l'évènement « l'entreprise choisie est européenne » ;
   • F l'évènement « l'entreprise choisie est une compagnie pétrolière ».

   Regroupons les données du tableau précédent dans un tableau à double entrée

   	Pétrole	Autres	Total
   Asie	2	3	5
   États-Unis	3	6	9
   Europe	4	7	11
   Total	9	16	25

   1. Quelle est la probabilité de choisir une compagnie pétrolière ?

      9 entreprises sur 25 sont des compagnies pétrolières d'où $p\left(F\right)={\displaystyle \frac{9}{25}}=\mathrm{0,36}$

      La probabilité de choisir une compagnie pétrolière est égale à 0,36.

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   2. Quelle est la probabilité de choisir une compagnie pétrolière européenne ?

      4 entreprises européennes sont des compagnies pétrolières d'où $p\left(F\cap E\right)={\displaystyle \frac{4}{25}}=\mathrm{0,16}$

      La probabilité de choisir une compagnie pétrolière européenne est égale à 0,16.

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3. On choisi au hasard parmi les 25 plus grandes entreprises une compagnie pétrolière. Quelle est la probabilité que cette entreprise ne soit pas une entreprise européenne ?

   5 entreprises parmi les 9 compagnies pétrolières ne sont pas des entreprises européennes d'où :

   La probabilité de choisir une entreprise qui ne soit pas une entreprise européenne parmi les compagnies pétrolières est égale à ${\displaystyle \frac{5}{9}}$.

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4. Trois personnes choisissent chacune et au hasard une des 25 plus grandes entreprises. Quelle est la probabilité qu'au moins une de ces trois entreprises soit une entreprise européenne ?

   L'évènement A « au moins une des trois entreprises est une entreprise européenne » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois entreprises ne sont pas européennes ».

   Or 14 entreprises sur 25 ne sont pas européenne d'où $p\left(\overline{E}\right)={\displaystyle \frac{14}{25}}=\mathrm{0,56}$

   Par conséquent, la probabilité de l'évènement $\overline{A}$ « les trois entreprises ne sont pas européennes » est $p\left(\overline{A}\right)={\mathrm{0,56}}^3$.

   Comme $p\left(A\right)=1-p\left(\overline{A}\right)$, nous avons $$p\left(A\right)=1-{\mathrm{0,56}}^3=\mathrm{0,824384}$$

   La probabilité qu'au moins une des trois entreprises soit une entreprise européenne est égale à 0,824384.

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