contrôle du 4 mars 2011

Corrigé de l'exercice 2

Dans chaque cas suivants, f est une fonction définie et dérivable sur son intervalle de définition. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^3+{\displaystyle \frac{2}{x}}-5$.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=3x^2-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$.

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2. f est définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x^2+2x-3}}$.

   $f={\displaystyle \frac{3}{u}}$ d'où $f\prime =3\times \left(-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}\right)$ avec pour tout réel $x>1$, $u\left(x\right)=x^2+2x-3$ et $u\prime \left(x\right)=2x+2$

   Soit pour tout réel $x>1$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{3\times \left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}}\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{6x+6}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-6x-6}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}}$.

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