contrôle du 4 mars 2011

Corrigé de l'exercice 3

1. Lecture graphique.
   Dans cette question, on admet que la droite T est tangente en A à la courbe $C_f$ et qu'en chacun des points B et C, la courbe $C_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

   1. Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de $f\left(-1\right)$, $f\prime \left(-1\right)$, $f\prime \left(1\right)$, et $f\prime \left(3\right)$.

      • Le point $C\left(-1;2\right)$ appartient à la courbe $C_f$ d'où $f\left(-1\right)=2$.

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      • En chacun des points B et C, la courbe $C_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\prime \left(-1\right)=0$ et $f\prime \left(3\right)=0$.

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      • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A de coordonnées $\left(1;0\right)$ qui passe par le point de coordonnées $\left(0;2\right)$ d'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{2-0}{0-1}}=-2$$.Ainsi, $f\prime \left(1\right)=-2$.

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   2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$.
      Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$.

      Courbe $C_1$

      Courbe $C_2$

      Courbe $C_3$

      Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-1\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$, la fonction f est croissante. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur chacun de ces deux intervalles.

      La courbe $C_3$ est la seule courbe susceptible d'être la représentation graphique de la fonction $f\prime$.

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2. La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{8-8x}{x^2-2x+5}}$.

   1. Calculer la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

      Le discriminant du trinôme $v\left(x\right)=x^2-2x+5$ est $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4-20=-16\end{array}$ donc pour tout réel x, $x^2-2x+5>0$.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=8-8x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-8\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-2x+5& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-8\times \left(x^2-2x+5\right)-\left(8-8x\right)\times \left(2x-2\right)}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-8x^2+16x-40-\left(16x-16-16x^2+16x\right)}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{8x^2-16x-24}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8\left(x^2-2x-3\right)}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}}$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      Pour tout réel x, $x^2-2x+5>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $x^2-2x-3$ avec $a=1$, $b=-2$ et $c=-3$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4+12=16\end{array}$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-4}{2}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{2+4}{20}}=3\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		$-1$		3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f			2		$-2$

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   3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

      La tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation : $$y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)={\displaystyle \frac{8-8\times 1}{1-2+5}}=0& \text{et}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{8\times \left(1-2-3\right)}{4^2}}=-2\end{array}$$

      D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-1\right)& \iff & y=-2x+2\end{array}$$

      La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation $y=-2x+2$.

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